Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là \(x\)(phút), trên truyền hình là \(y\)(phút).

Chi phí cho việc này là: \(800\) \(000 x + 4\) \(000\) \(000 y\)(đồng).

Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức: \(800\) \(000 x + 4\) \(000\) \(000 y \leq 16\) \(000\) \(000\) hay \(x + 5 y - 20 \leq 0\).

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: \(x \geq 5\), \(y \leq 4\).

Đồng thời do \(x\); \(y\) là thời lượng nên \(x \geq 0\), \(y \geq 0\). Hiệu quả chung của quảng cáo là: \(x + 6 y\).

Bài toán trở thành: Xác định \(x\); \(y\) sao cho: \(M \left(\right. x ; y \left.\right) = x + 6 y\) đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện \(\)
​​x+5y−20≤0

x≥5

0≤y≤4​
 (*).

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + 5 y - 20 = 0\); \(d^{'} :\) \(x = 5\) và \(\)d'' : \(y = 4\).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác (phần không tô màu) trên hình vẽ bên dưới.

Giá trị lớn nhất của \(M \left(\right. x ; y \left.\right) = x + 6 y\) đạt tại một trong các điểm \(\left(\right. 5 ; 3 \left.\right)\); \(\left(\right. 5 ; 0 \left.\right)\); \(\left(\right. 20 ; 0 \left.\right)\).

Ta có \(M \left(\right. 5 ; 3 \left.\right) = 23\); \(M \left(\right. 5 ; 0 \left.\right) = 5\) và \(M \left(\right. 20 ; 0 \left.\right) = 20\) suy ra giá trị lớn nhất của \(M \left(\right. x ; y \left.\right)\) bằng \(23\) tại \(\left(\right. 5 ; 3 \left.\right)\) tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là \(5\) phút và trên truyền hình là \(3\) phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Gọi \(x\) (\(x \geq 0\)) là số kg loại I cần sản xuất, \(y\) (\(y \geq 0\)) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là \(2 x + 4 y\), thời gian là \(30 x + 15 y\) có mức lãi là \(40\) \(000 x + 30\) \(000 y\).

Theo giả thiết bài toán xưởng có \(200\)kg nguyên liệu và \(120\) giờ làm việc suy ra \(2 x + 4 y \leq 200\) hay \(x + 2 y - 100 \leq 0\), \(30 x + 15 y \leq 1\) \(200\) hay \(2 x = y - 80 \leq 0\).

Bài toán trở thành: Tìm \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ \(\)  \(\)
sao cho \(L \left(\right. x ; y \left.\right) = 40\) \(000 x + 30\) \(000 y\) đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + 2 y - 100 = 0\) và \(d^{'} :\) \(2 x + y - 80 = 0\).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình
 ​​x+2y−100≤0

2x+y−80≤0

x≥0

y≥0​
​
(*) là miền tứ giác (phần không tô màu) trên hình vẽ bên dưới.

Giá trị lớn nhất của \(L \left(\right. x ; y \left.\right) = 40\) \(000 x + 30\) \(000 y\) đạt tại một trong các điểm \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 40 ; 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 0 ; 50 \left.\right)\), \(\left(\right. 20 ; 40 \left.\right)\).

Ta có \(L \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) = 0\); \(L \left(\right. 40 ; 0 \left.\right) = 1\) \(600\) \(000\); \(L \left(\right. 0 ; 50 \left.\right) = 1\) \(500\) \(000\); \(L \left(\right. 20 ; 40 \left.\right) = 2\) \(000\) \(000\) suy ra giá trị lớn nhất của \(L \left(\right. x ; y \left.\right)\) là \(2\) \(000\) \(000\) khi \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \left(\right. 20 ; 40 \left.\right)\).

Vậy cần sản xuất \(20\) kg sản phẩm loại I và \(40\) kg sản phẩm loại II để có mức lãi lớn nhất.

Ta có: (x−y)(x3+y3)≥0⇔(x−y)(x+y)(x2−xy+y2)≥0⇔(x−y)(x+y)≥0⇔{x−y≥0x+y≥0(x−y)(x3+y3)≥0⇔(x−y)(x+y)(x2−xy+y2)≥0⇔(x−y)(x+y)≥0⇔{​x−y≥0x+y≥0​

Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2).

Vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + y = 0\) và \(d^{'} :\) \(x - y = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(O x y\).

Xét điểm \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\), ta có \(\left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).

Xét điểm \(N \left(\right. - 1 ; 0 \left.\right)\), ta có \(\left(\right. - 1 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do đó \(N \left(\right. - 1 ; 0 \left.\right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2).

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng \(d\) và \(d^{'}\).

a) Vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + y - 2 = 0\) và \(d^{'} :\) \(x - 3 y + 3 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(O x y\).

Xét điểm \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), thấy \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) không phải là nghiệm của bất phương trình \(x + y - 2 \geq 0\) và \(x - 3 y + 3 \leq 0\).

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không được tô màu và kể cả hai đường thẳng \(d\) và \(d^{'}\).

b) Vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + y = 0\); \(d^{'} :\) \(2 x - 3 y + 6 = 0\) và \(x - 2 y + 1 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(O x y\).

Xét điểm \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), thấy \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình \(2 x - 3 y + 6 > 0\) và \(x - 2 y + 1 \geq 0\).

Do đó \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2 x - 3 y + 6 > 0\) và \(x - 2 y + 1 \geq 0\).

Xét điểm \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\), thấy \(\left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình \(x+y>0\). Do đó \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 0\)

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ bên dưới kể cả đường thẳng d và  \(d^{^{\overset{}{,,}}}\).

 a, Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng  \(\left(\right. d \left.\right)\):2x−y=0

Ta có \(\left(\right. d \left.\right)\) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, ví dụ điểm \(M\left(\right.5;5\left.\right)\). Ta thấy \(\left(\right.5;5\left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b,Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng  \(\left(d_1^{}\right)\) : \(\frac{x - 2 y}{2}=\frac{2 x + y + 1}{3}\)
Ta có \(\left(d_1^{}\right)\) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, ví dụ điểm \(M\left(\right.5;5\left.\right)\). Ta thấy \(\left(\right.5;5\left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.