• a)Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2}\)

• Vì \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên:

\(\overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D}}{2}\)

\(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D}}{2} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{\left(\right. \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} \left.\right)}{2}\)

Nhân cả hai vế với 2:

\(2 \overset{⃗}{E F} = \left(\right. \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} \left.\right) = \left(\right. \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{B} \left.\right) + \left(\right. \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} \left.\right) = \overset{⃗}{A C} + \overset{⃗}{B D} = \overset{⃗}{A D} + \overset{⃗}{B C}\)

✅ Vậy phần a) đúng:

b)

• \(G\) là trung điểm của \(E F\):

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} + \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D}}{2}}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D}}{4}\)

• Vectơ từ \(G\) tới các đỉnh:

\(\overset{⃗}{G A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{G} , \overset{⃗}{G B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{G} , \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{G} , \overset{⃗}{G D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{G}\)

\(\overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} + \overset{⃗}{G D} & = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D} \left.\right) - 4 \overset{⃗}{G} \\ & = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D} \left.\right) \\ & = \overset{⃗}{0}\)

✅ Vậy phần b) đúng:

\(\overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} + \overset{⃗}{G D} = \overset{⃗}{0} .\)

a)

• \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\)
• \(\overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C}\)
• \(\overset{⃗}{E A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{E}\)

Cộng lại:

\(\overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{C D} + \overset{⃗}{E A} = \left(\right. \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right) + \left(\right. \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C} \left.\right) + \left(\right. \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{E} \left.\right) = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C} \left.\right) + \left(\right. \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{E} \left.\right) = \overset{⃗}{C B} + \overset{⃗}{E D} .\)

✅ Vậy đẳng thức a) đúng.

b)

• \(\overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C}\)
• \(\overset{⃗}{E A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{E}\)

Cộng lại:

\(\overset{⃗}{C D} + \overset{⃗}{E A} = \left(\right. \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C} \left.\right) + \left(\right. \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{E} \left.\right) = \left(\right. \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} \left.\right) + \left(\right. \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{E} \left.\right) = \overset{⃗}{C A} + \overset{⃗}{E D} .\)

✅ Vậy đẳng thức b) cũng đúng.

Gọi \(x\) (phút) là thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh, \(y\) (phút) là thời lượng trên truyền hình.

Thông tin cho:

• Chi phí: phát thanh 1 phút = \(800 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) đồng; truyền hình 1 phút = \(4 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) đồng.
• Đài phát thanh nhận tối thiểu \(x \geq 5\) phút.
• Đài truyền hình nhận tối đa \(y \leq 4\) phút.
• Hiệu quả: cùng 1 phút truyền hình gấp 6 lần 1 phút phát thanh \(\Rightarrow\) hiệu quả tổng: \(E = x + 6 y\).
• Ngân sách tối đa: \(800 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ }\textrm{ } x + 4 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ }\textrm{ } y \leq 16 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\).

Chia cả hai vế chi phí cho \(1 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) để dễ tính: \(0.8 x + 4 y \leq 16\).

Vì hiệu quả trên mỗi đồng chi:

• phát thanh: \(\frac{1}{0.8} = 1.25\) (đơn vị hiệu quả trên 1 tỷ đồng),
• truyền hình: \(\frac{6}{4} = 1.5\) (đơn vị hiệu quả trên 1 tỷ đồng),

nên truyền hình cho hiệu quả/chi phí cao hơn. Do đó để tối đa hóa \(E\) ta nên đặt \(x\) ở mức nhỏ nhất cho phép (\(x = 5\)) và dành ngân sách còn lại cho \(y\) (tối đa là 4).

Tính \(y\) khi \(x = 5\):

\(0.8 \cdot 5 + 4 y \leq 16 \Rightarrow 4 + 4 y \leq 16 \Rightarrow y \leq 3.\)

Vì \(y \leq 4\) và theo tính tối ưu ta lấy \(y\) lớn nhất có thể \(\Rightarrow y = 3\).

Kiểm tra chi phí: \(5 \cdot 800 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 + 3 \cdot 4 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 = 4 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 + 12 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 = 16 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) (đúng hạn mức).

Hiệu quả thu được: \(E = 5 + 6 \cdot 3 = 23\) (đơn vị hiệu quả theo cách đã định).

Kết luận: Công ty nên đặt 5 phút trên sóng phát thanh và 3 phút trên sóng truyền hình — dùng hết 16 tỷ đồng và đạt hiệu quả tối đa.