BACDFEO Gọi O là trung điểm của BC

Xét △ BDC vuông tại D (BD là đường cao)

mà DO là đường trung tuyến nên OC = OB = OD = \(=\frac12BC\)
Xét △ CFB vuông tại F (CF ⊥ BM)

mà FO là đường trung tuyến nên FO= CO = BO= \(\frac12\) BC (2)

Xét △ BCE vuông tại E (CE là đường cao)

EO là đường trung tuyến.

nên ED = CO = BO = \(\frac12\) BC (3)

Từ (1) (2) và (3), suy ra EO = CO = BO = FO = DO thuộc cùng một đường tròn nên E, C, B, F, D

ABDCabO

Áp dụng định lí Pythagore vào △ ABC vuông tại B ta được

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(AC^2=a^2+b^2\)

\(AC=\sqrt{a^2+b^2}\)

mà r\(=OA=\frac{AC}{2}\) nên r \(=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac12\sqrt{a^2+b^2}\)

ACBB'C'O

⇒ (CC là đường cao)

mà CO là đường trung tuyến (O là trung điểm của BC)

nên \(C^{\prime}O=\) BO=CO

lại có: B, C ∈ đường tròn (O; OB')


C' ∈ đường tròn (O; OB')

Gọi số tự nhiên cần tìm là abc  với \(1 \leq a \leq 9\) và \(0 \leq b\), \(c \leq 9\).

Số viết ngược lại là cba.

Ta có abc-cba=495

99a−99c=495

a-c=5

Xét các số 6b1;7b2;8b3;9b4.thì chỉ có

5b0 có b2 =0,5=0 cho ta b=0

và 9b4 có \(b^{2} = 4.9 = 36\) cho ta \(b = 6\).

Vậy các số cần tìm là \(500\) và \(964\).\(\)