a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O). Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O). b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O và BD = AC suy ra: ABCD là hình chữ nhật. c)vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà AB⊥d nên d⊥CD Xét tam giác OCD có OC = OD nên ∆OCD cân tại O

mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD

Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD và E là trung điểm của AC và BD Suy ra: EA = EB = EC = ED Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay chỉ có một đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm này. Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD. b) Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABC vuông tại B có:

AC²=AB2²+BC²=32+32=18 suy ra AC=3√2(cm) Vậy bán kính đường tròn là:EA=AC2=3√22(cm).

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD xét tam giác vuông ABO (AB ⊥ BO) có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB nên: OM =1/2 AB

mặt khác, AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi O là trung điểm của BC. Xét tam giác vuông BDC(BD ⊥ AC) có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên: OD=OB=OC=1/2 BC (1)

Xét tam giác vuông BEC( CE ⊥ AB)có EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên: OE=OB=OC=1/2 BC (2)

Xét tam giác vuông BFO( BF ⊥ CF) CÓ FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên: OF=OB=OC=1/2 BC (3)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra: năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R = 1/2 BC

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Xét hình chữ nhật ABCD có: OA = OB = OC = OD = 1/2 AC=1/2 BD (Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật) Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn

Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC.

suy ra: B'O=OB=OC=1/2 BC (1) Xét ∆BCC’ vuông tại C’ có đường trung tuyến C'O ứng với cạnh BC Suy ra: C'O= OB = OC=1/2 BC (2) từ(1) và (2) suy ra: B'O=C'O=OB=OC=1/2 BC Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

Gọi O là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC vuông tại B có O là trung điểm của AC nên OA=OB=OC=1/2 AC (1) Xét tam giác ADC vuông tại D có O là trung điểm của AC nên OA=OD=OC=1/2 AC (2)

từ (1) và (2) suy ra OA=OB=OC=OD=1/2 AC

suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O đường kính AC.