Gọi đó là hình thoi ABCD

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

Xét tam giác AOB vuông tại O ta có

OM là đường trung tuyến

Nên OM=1/2BC

Hay OM=AM=MB(1)

CMTT ta được:

ON=NB=NC ;PO=PD=PC ;QO=QD=QA(2)

Lại có: AB=BC=CD=DA( ABCD là hình thoi)

Mà: M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB=BC=CD=DA

Nên: AM=MB=BN=NC=PC=PD=QD=QA(3)

Từ (1),(2),(3)

Suy ra OM=ON=OP=OQ

Hay bốn trung điểm của 4 cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn(O;ON)

Xét tam giác B'BC vuông tại B' ta có

B'O là đường trung tuyến

Nên B'O=1/2BC

Hay B'O=OB=OC(1)

Xét tam giác C'BC vuông tại C' ta có

C'O là đường trung tuyến

Nên C'O=1/2BC

Hay C'O=OB=OC(2)

Từ (1),(2)

Suy ra C'O=OB=OC=B'O

Hay đường tròn(O;OB') đi qua C,B,C'

Cho O là trung điểm của BC

Xét tam giác CFB vuông tại F ta có

FO là đường trung tuyến

Nên FO=1/2BC

Hay FO=OB=OC(1)

Xét tam giác DBC vuông tại D ta có

DO là đường trung tuyến

Nên DO=1/2BC

Hay DO=OB=OC(2)

Xét tam giác EBC vuông tại E ta có

EO là đường trung tuyến

Nên RO=1/2BC

Hay EO=OB=OC(3)

Từ (1),(2),(3)

Suy ra OF=OB=OC=OD=OE

Hay B,C,D,E,F cùng năm trên một đường tròn(O;OC)

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC,BD

Ta có ABCD là hình chữ nhật

Nên AC=BD

AO=OC, OD=OB

Suy ra:OA=OB=OC=OD

Hay A,B,C,D cùng thuộc đường tròn (O;OB)

Tâm: O

Bán kính: OA, OB, OC, OD

Cho O là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có

BO là đường trung tuyến

Nên BO=1/2AC

Hay BO=OA=OC(1)

Xét tam giác DAC vuông tại D ta có

DO là đường trung tuyến

Nên DO=1/2AC

Hay DO=OA=OC(2)

Từ (1),(2)

Suy ra OB=OC=OA=OD

Hay A,B,C,D cùng nằm trên đường tròn (O;AC)