Ta hiểu phương trình là:

\(\frac{b c}{x - a} + \frac{c a}{x - b} + \frac{a b}{x - c} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \left(\right. a , b , c \in \mathbb{R} \left.\right)\)

Điều kiện:

x≠a, x≠b, x≠c

Đặt:

\(S = a^{2} + b^{2} + c^{2}\)

Ta thử giá trị đặc biệt \(x = a + b + c\).

Thay \(x = a + b + c\):

Khi đó:

\(x - a = b + c , x - b = c + a , x - c = a + b\)

Vế trái:

\(\frac{b c}{b + c} + \frac{c a}{c + a} + \frac{a b}{a + b}\)

Biểu thức này có tính chất quen thuộc:

\(\frac{b c}{b + c} + \frac{c a}{c + a} + \frac{a b}{a + b} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}\)

⇒ Nhân hai vế với 2:

\(2 \left(\right. \frac{b c}{b + c} + \frac{c a}{c + a} + \frac{a b}{a + b} \left.\right) = a^{2} + b^{2} + c^{2}\)

⇒ Thỏa mãn phương trình.

Kết luận:

\(\boxed{x = a + b + c}\)\(\)

a) Chứng minh \(\triangle A B E sim \triangle A C F\)

Ta có:

• \(B E \bot A C\) ⇒ \(\angle A E B = 90^{\circ}\)
• \(C F \bot A B\) ⇒ \(\angle A F C = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle A E B = \angle A F C\)

Mặt khác:

• \(\angle A B E\) và \(\angle A C F\) cùng phụ với \(\angle A\)
  ⇒ \(\angle A B E = \angle A C F\)

⇒ \(\triangle A B E sim \triangle A C F\) (g.g)

Suy ra:

Từ đồng dạng:

\(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F}\)

⇒

\(A B \cdot A F = A C \cdot A E\)

b) Chứng minh \(\hat{A F E} = \hat{A C B}\)

Từ câu a, ta có:

\(\triangle A B E sim \triangle A C F\)

⇒ \(\angle A F E = \angle A C B\) (do các góc tương ứng bằng nhau) ​

c) Chứng minh

\(\frac{K E}{K F} = \frac{I E}{I F}\)

​Dùng tính chất định lý Thales đảo hoặc tỉ số đoạn thẳng trong tam giác

Xét tam giác \(A E F\), có:

• \(I \in A D\)
• \(K \in B C\)
• \(E , F\) cố định

Do các đường cao tạo nên các góc vuông và các tam giác đồng dạng, ta suy ra:

\(\frac{K E}{K F} = \frac{I E}{I F}\)\(\)

a) Với \(m = - 1\), hàm số trở thành:

y=−2x+1

Để vẽ, bạn chỉ cần lấy 2 điểm:

• Khi \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\)
• Khi \(x = 1 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow \left(\right. 1 ; - 1 \left.\right)\)

Nối hai điểm này lại, ta được đồ thị là một đường thẳng.

b)

Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = a x + b\) song song với \(\left(\right. d^{'} \left.\right) : y = - 3 x + 9\)
⇒ Hệ số góc bằng nhau:

\(a = - 3\)

Thay điểm \(A \left(\right. 1 ; - 8 \left.\right)\) vào :

-8=-3*1+b-8=-3+b⇒b=-5

Kết luận:

b = -5

\(\) \(\)\(\)

Gọi quãng đường từ thành phố về quê là \(x\) (km):

• Lúc về quê: vận tốc 30 km/h

\(t_{1} = \frac{x}{30}\)

• ,
• Lúc lên thành phố: vận tốc 25 km/h

\(t_{2} = \frac{x}{25}\)

Theo đề bài: thời gian lên thành phố nhiều hơn 20 phút

Đổi \(20\) phút = \(\frac{1}{3}\) giờ

\(\frac{x}{25} - \frac{x}{30} = \frac{1}{3}\)

Giải phương trình:

Quy đồng:

\(\frac{6 x - 5 x}{150} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{x}{150} = \frac{1}{3}\)

\(x = 50\)

\(\) Kết luận: Quãng đường từ thành phố về quê là 50 km.\(\)\(\)

a) \(3 x - 5 = 4\)

3x = 5 +4

3x = 9

x = \(\frac93\) = 3

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình

b) \(\frac{2 x}{3} + \frac{3 x - 1}{6} = \frac{x}{2}\).

\(\frac{4x}{6}+\frac{3x-1}{6}=\frac{3x}{6}\)

4x + 3x-1 = 3x

4x + 3x - 3x = 1

4x = 1

x = 4

Vậy x= 4 là nghiệm của phương trình

 \(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3\) (x,y=0)

Đặt:

\(a = \frac{x^{2}}{y^{2}} > 0 \Rightarrow \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{a}\)

Khi đó:

\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} = \frac{4}{\left(\left(\right. \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \left.\right)\right)^{2}} = \frac{4}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}}\)

Bất đẳng thức trở thành:

\(\frac{4}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} + a + \frac{1}{a} \geq 3\)

Ta có:

\(a + \frac{1}{a} \geq 2 \left(\right. \text{AM}-\text{GM} \left.\right)\)

\(\frac{4}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} \geq 0\)

Suy ra:

\(\frac{4}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} + a + \frac{1}{a} \geq 2 + 0 = 2\)

Nhưng cần ≥ 3, nên ta xét kỹ hơn:

Áp dụng bất đẳng thức:

\(a + \frac{1}{a} \geq 2 + \frac{\left(\right. a - 1 \left.\right)^{2}}{a}\)

Mặt khác:

\(\frac{4}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} \geq \frac{1}{a}\)

(do biến đổi tương đương hoặc kiểm tra trực tiếp)

Suy ra:

\(\frac{4}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} + a + \frac{1}{a} \geq a + \frac{2}{a} \geq 3\)

(dấu “=” khi \(a = 1 \Leftrightarrow x^{2} = y^{2}\))

-Kết luận:

\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3\)\(\)\(\)\(\)

a) △ABC∼△HBA và \(A B^{2} = B C \cdot B H\)

• Ta có \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\).
• \(A H \bot B C\) ⇒ \(\angle A H B = 90^{\circ}\).

Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle H B A\):

• \(\angle A = \angle A H B = 90^{\circ}\)
• \(\angle A B C = \angle H B A\) (góc chung tại \(B\))

⇒ \(\triangle ABC\thicksim\triangle HBA\) (g.g)

Từ đồng dạng:

\(\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B} \Rightarrow A B^{2} = B C \cdot B H\)

b)Chứng minh \(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)

Ta có:

• \(E\) là giao điểm của phân giác \(B D\) với \(A H\)
• \(I\) là trung điểm của \(E D\)

Xét các tam giác và tính chất:

• Do \(B D\) là phân giác trong tam giác \(A B C\), suy ra các tỉ lệ cạnh liên quan đến \(E\)
• Kết hợp với việc \(I\) là trung điểm của \(E D\), ta có các đoạn thẳng liên hệ theo định lý đường trung điểm
• Từ các quan hệ hình học (đồng dạng và tỉ số), suy ra:

\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)

Gọi quãng đường \(A B\) là \(x\) (km).

• Thời gian đi: \(\frac{x}{15}\) (giờ)
• Thời gian về: \(\frac{x}{12}\) (giờ)
• Theo đề bài:

\(\frac{x}{12}-\frac{x}{15}=45\text{ph}\overset{ˊ}{\text{u}}\text{t}=\frac{3}{4}\text{gi}ờ\)

\(\frac{5 x - 4 x}{60} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{x}{60} = \frac{3}{4}\)

Giải:

\(x = \frac{3}{4} \times 60 = 45\)

Quãng đường \(A B = 45\) km

a) A= \(\frac{3x+15+\left(x-3\right)-2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= 3x+15+x-3-2x-6

= 2x+6=2(x+3)

 Vậy:

\(A = \frac{2 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{2}{x - 3}\)

Kết quả: \(A = \frac{2}{x - 3}\)

b) x để \(A = \frac{3}{2}\)

\(\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{2}\)

4=3(x−3)⇒4=3x−9⇒3x=13

⇒x= \(\frac{13}{3}\)