a) ABCD là hình bình hành nên

hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường.

Xét ΔOBM và ΔODP có: 

    ^OBM=^ODP (so le trong)

OB=OD ( giả thiết)

    ^BOM=^DOP (đối đỉnh)

Vậy ΔOBM=ΔODP (g.c.g)

Suy ra OM=OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ΔOAQ=ΔOCN (g.c.g)

suy ra OQ=ON (hai cạnh tương ứng)

MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP⊥NQ nên là hình thoi.

Vì ABCD  là hình bình hành

=> AB//CD

AD//BC

Tứ giác AMCN có

AM=CN

AM//CN

⇒AMCN là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có

AM=DN

AM//DN

⇒AMND là hình bình hành

=> AD // MN, mà AD⊥AC

=>MN⊥AC (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường và BD là phân giác của góc ABC

Xét ΔADF và ΔABE có

AD=AB

\(\hat{A D F} = \hat{A B E}\)

DF=BE

Do đó: ΔADF=ΔABE

=>AF=AE và \(\hat{A F D} = \hat{A E B}\)

Xét ΔHFD và ΔGEB có

\(\hat{H F D} = \hat{G E B} ; \hat{F D H} = \hat{E B G} \left(\right. = \hat{A B D} \left.\right)\)

DF=BE

Do đó: ΔHFD=ΔGEB

=>HF=GE và DH=BG

AH+HF=AF

AG+GE=AE

mà HF=GE và AF=AE

nên AH=AG

Xét ΔCDH và ΔABG có

CD=AB

\(\hat{C D H} = \hat{A B G}\)

DH=BG

Do đó: ΔCDH=ΔABG

=>CH=AG

Xét ΔADH và ΔCBG có

AD=CB

\(\hat{A D H} = \hat{C B G}\)

DH=BG

Do đó: ΔADH=ΔCBG

=>AH=CG

Xét tứ giác AGCH có

AG=CH

AH=CG

Do đó: AGCH là hình bình hành

mà AC vuông góc GH

nên AGCH là hình thoi