## 1. Phân tích hình học Đặt các vectơ cạnh tại đỉnh $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA'} = \vec{c}$. Theo giả thiết: * Độ dài các cạnh: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$. * Các góc tại đỉnh $A$: $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{c}) = (\vec{c}, \vec{a}) = 60^\circ$. ## 2. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ Thể tích $V$ của khối hộp được tính theo công thức: $$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \sqrt{1 + 2\cos^3 60^\circ - 3\cos^2 60^\circ}$$ Thay $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ vào: $$V = \sqrt{1 + 2\left(\frac{1}{8}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right)} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ ## 3. Tính diện tích tam giác $AB'C$ Trước hết, ta tính độ dài các cạnh của tam giác $AB'C$: * Cạnh $AB'$: $AB'^2 = |\vec{a} + \vec{c}|^2 = a^2 + c^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos 60^\circ = 3 \Rightarrow AB' = \sqrt{3}$. * Cạnh $AC$: $AC^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = a^2 + b^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos 60^\circ = 3 \Rightarrow AC = \sqrt{3}$. * Cạnh $B'C$: $\vec{B'C} = \vec{AC} - \vec{AB'} = \vec{b} - \vec{c}$. $B'C^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = b^2 + c^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} = 1 + 1 - 2(1)(1)\cos 60^\circ = 1 \Rightarrow B'C = 1$. Tam giác $AB'C$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm $B'C$, đường cao $AH = \sqrt{AB'^2 - \left(\frac{B'C}{2}\right)^2} = \sqrt{3 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Diện tích: $$S_{AB'C} = \frac{1}{2} \cdot B'C \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{11}}{4}$$ ## 4. Tính khoảng cách từ $C'$ đến mặt phẳng $(AB'C)$ Xét khối tứ diện $AB'CC'$. Thể tích khối tứ diện này bằng $\frac{1}{6}$ thể tích khối hộp (do các đỉnh thuộc khối hộp): $$V_{AB'CC'} = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$$ Khoảng cách $d$ từ $C'$ đến $(AB'C)$ là chiều cao của tứ diện hạ từ $C'$: $$d = \frac{3 \cdot V_{AB'CC'}}{S_{AB'C}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}}{\frac{\sqrt{11}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{11}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{22}}{11}$$ Đáp số: Khoảng cách cần tìm là $d = \frac{\sqrt{22}}{11}$.

* Công thức: Gọi $S_0$ là lượng bèo ban đầu. Sau $t$ giờ, lượng bèo là: $S(t) = S_0 \cdot 10^t$ * Dữ kiện: Sau 12 giờ bèo phủ kín mặt nước ($S_{full}$), ta có: $S_{full} = S_0 \cdot 10^{12}$ ## Giải chi tiết Để tìm thời gian $t$ khi bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt nước, ta lập phương trình: $$S(t) = \frac{1}{5} S_{full}$$ $$S_0 \cdot 10^t = \frac{1}{5} (S_0 \cdot 10^{12})$$ Triệt tiêu $S_0$ ở hai vế, ta được: $$10^t = \frac{10^{12}}{5}$$ Lấy logarit cơ số 10 hai vế: $$t = \log( \frac{10^{12}}{5} )$$ $$t = \log(10^{12}) - \log(5)$$ $$t = 12 - \log(5)$$ Tính toán giá trị xấp xỉ: * $\log(5) \approx 0,69897$ * $t \approx 12 - 0,69897 = 11,30103$ Làm tròn đến hàng phần mười, ta được: 11,3 (giờ). Đáp số: 11,3 giờ.