a) Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, ta có

\(\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{CN}=\frac12\overrightarrow{CA}\)

\(\overrightarrow{AP}=\frac12\overrightarrow{AB}\)

Ta có

\(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}=\frac12\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{AB}\)

\(\lrArr\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)\)

mặc khác,

\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)

Nên ta có

\(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\frac12\left(\overrightarrow{0}\right)=\overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(\) a) chứng minh \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}\) đều cùng phương với \(\overrightarrow{OD}\)

Ta có,

Trong hình bình hành OABM, thì \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}\) với M là đỉnh thứ 4 của hình bình hành. Vì O là tâm ngũ giác đều, nên điểm M nằm trên đường thẳng OD. Do đó,

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{OD}\)

Tương tự,

Trong hình bình hành OENC, thì \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{ON}\) , với N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành. Vì O là tâm ngũ giác đều, nên điểm N cũng nằm trên đường thẳng OD. Do đó, \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}\) cùng phương với \(\overrightarrow{OD}\)

b) Chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{EC}\) cùng phương

c) Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}\)

ta có \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\right)+\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)

Do OA nằm trên đường phân giác của \(\hat{BOE}\) và \(\hat{DOC}\) của 2 tam giác cân BOE và DOC nên ta có \(\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\right)\) và \(\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\) nằm trên đường thẳng OA

Tương tự ta có \(\overrightarrow{u}\) cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Nên \(\overrightarrow{u}=0\)

\(\rarr\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}_{}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}\)

a) Chứng minh \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}\) (Vì ABCD là hình bình hành)

Do đó,

\(\lrArr\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)

b) Chứng minh \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó,

\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}\) và \(\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}\)

Nên

\(\lrArr\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+OD\right)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)

c) Chứng minh \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)

Ta có

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)\)

Tương tự ta có

\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)\)

Vì \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) nên

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\) (đpcm)

Trong lục giác đều ABCDEF tâm O, các cặp đỉnh đối diện qua tâm O là A và D, B và E, C và F. Do đó, các vecto \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OD}\) , \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OE}\) , \(\overrightarrow{OC}\) và \(\overrightarrow{OF}\) là các cặp vecto đối nhau. Nên ta có

\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}\rarr\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OE}\rarr\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OF}\rarr\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}\)

Tổng vecto đã cho là

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\right)+\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}\right)\)

\(\lrArr\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(a)\lrArr\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\)

\(\lrArr\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}\) (đpcm)

b)\(\lrArr\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA}\)

mà \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)
\(\) nên ta có \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{ED}\) (đpcm)