Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên ˆADB=ˆCBD (so le trong)

Xét DADH và DCBK có:

ˆAHD=ˆCKB=90°;

AD = BC (chứng minh trên);

ˆADH=ˆCBK (do ˆADB=ˆCBD).

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

1. Vì ABCD là hình bình hành:
2. • Các cạnh đối song song: AB // DC và AD // BC.
   • Các cạnh đối bằng nhau: AB = DC và AD = BC.
3. Sử dụng định nghĩa trung điểm:
4. • E là trung điểm của AD nên ED = AD/2.
   • F là trung điểm của BC nên BF = BC/2.
5. Chứng minh các cạnh đối song song:
6. • Vì AD // BC nên ED // BF.
7. Chứng minh các cạnh đối bằng nhau:
8. • Vì AD = BC (hai cạnh đối của hình bình hành ABCD) và ED = AD/2, BF = BC/2, suy ra ED = BF.
9. Kết luận:
10. • Tứ giác EBFD có một cặp cạnh đối song song (ED // BF) và bằng nhau (ED = BF), do đó, EBFD là hình bình hành.

1. Xác định các mối quan hệ:
2. • O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD, nên O là trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.
   • E là trung điểm của AD.
   • F là trung điểm của BC.
3. Xét tam giác ABD:
4. • E là trung điểm của AD.
   • O là trung điểm của BD.
   • Vậy, EO là đường trung tuyến của tam giác ABD và EO cũng là đường trung bình của tam giác ABD. Điều này có nghĩa là EO song song với AB và EO = AB/2.
5. Xét tam giác BCD:
6. • F là trung điểm của BC.
   • O là trung điểm của BD.
   • Vậy, FO là đường trung tuyến của tam giác BCD và FO cũng là đường trung bình của tam giác BCD. Điều này có nghĩa là FO song song với CD và FO = CD/2.
7. Kết hợp các thông tin:
8. • Vì E, O, F đã được xác định trong các tam giác có chung cạnh đáy BD, ta cần xem xét mối quan hệ của chúng.
   • Trong hình bình hành ABCD, ta có AD // BC.
   • E là trung điểm AD, F là trung điểm BC, nên EF là đường trung bình của hình thang ABFD hoặc EF là đường trung bình của hình thang ABFE.
9. Cách 2 (Dựa vào đường trung tuyến):
10. • O là trung điểm của AC và BD.
    • E là trung điểm của AD.
    • F là trung điểm của BC.
    • Xét tam giác ADC: O là trung điểm AC, E là trung điểm AD. Vậy OE là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra OE // DC.
    • Xét tam giác BDC: O là trung điểm BD, F là trung điểm BC. Vậy OF là đường trung bình của tam giác BDC, suy ra OF // DC.
    • Vì OE // DC và OF // DC, và OE, OF đi qua điểm O, nên E, O, F thẳng hàng.
11. Kết luận:
12. • Ba điểm E, O, F thẳng hàng vì cả ba điểm này đều nằm trên đường thẳng song song với DC và đi qua điểm O.

1. • P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC.
   • Theo định lý đường trung bình, đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai cạnh của tam giác GBC sẽ song song với cạnh BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.
   • Tức là, PQ // BC và PQ = 1/2 BC.
2. Trong tam giác ABC:
3. • BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
   • M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.
   • Đoạn thẳng MN nối trung điểm hai cạnh của tam giác ABC sẽ song song với cạnh BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.
   • Tức là, MN // BC và MN = 1/2 BC.
4. Kết luận:
5. • Từ (1) và (2), ta có PQ // BC và MN // BC, suy ra PQ // MN.
   • Cũng từ (1) và (2), ta có PQ = 1/2 BC và MN = 1/2 BC, suy ra PQ = MN.
   • Vì PQ // MN và PQ = MN, nên tứ giác PQMN là hình bình hành.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt ...

Ta xét hình bình hành \(A B C D\), với các điểm \(E , F\) được xác định như sau:

• \(B\) là trung điểm của \(A E\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{B} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{E}}{2}\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\)
• \(C\) là trung điểm của \(D F\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{F}}{2}\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D}\)

a) Chứng minh \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành

Chứng minh tứ giác \(A E F D\) là hình bình hành:

Ta cần chứng minh \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Xét vectơ:

• \(\overset{⃗}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} \left.\right) - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{B} - 2 \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{A B}\)
• \(\overset{⃗}{D F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{D} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} \left.\right) - \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C D}\)

Mà \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{C D}\), suy ra:

Do đó, \(A E F D\) có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ \(A E F D\) là hình bình hành.

Chứng minh tứ giác \(A B F C\) là hình bình hành:

Tương tự, ta xét:

• \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\)
• \(\overset{⃗}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} \left.\right) - \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = - \overset{⃗}{D C} = - \overset{⃗}{A B}\) (vì \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{A B}\))

Nên:

Tức là \(A B \parallel F C\), và \(A B = F C\)

Do đó, \(A B F C\) là hình bình hành.

b) Các trung điểm của các đoạn thẳng \(A F\), \(D E\), \(B C\) trùng nhau

Ta tìm tọa độ trung điểm từng đoạn:

Trung điểm \(M\) của \(A F\):

Từ trên: \(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D}\)

Trung điểm \(N\) của \(D E\):

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A}\) ⇒

Trung điểm \(P\) của \(B C\):

Ta sẽ chứng minh \(M = N = P\) bằng cách đưa về cùng một biểu thức.

1. Biểu diễn các điểm theo gốc tọa độ
Giả sử đặt:

• Gốc tọa độ tại \(A\) ⇒ \(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0}\)
• \(\overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{u}\), \(\overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{v}\) ⇒ vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:
• \(\overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v}\)

Khi đó:

• \(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = 2 \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v}\)
• \(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{u}\)

Trung điểm \(M\) của \(A F\):

Trung điểm \(N\) của \(D E\):

Trung điểm \(P\) của \(B C\):

Vậy:

✅ Kết luận:

• a) Hai tứ giác \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành.
• b) Ba trung điểm của \(A F\), \(D E\), \(B C\) trùng nhau.

Nếu bạn cần hình minh họa hoặc lời giải theo kiểu trình bày học sinh, mình có thể bổ sung.

1. 1. •  được suy ra vì   là trung điểm của đường chéo   trong hình bình hành  .
      •  được suy ra vì   (cạnh đối của hình bình hành) nên  , dẫn đến hai góc so le trong này bằng nhau.
      •  được suy ra vì đây là hai góc đối đỉnh.
   2. Kết luận:
      •  được chứng minh theo trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g).
   Suy ra tứ giác   là hình bình hành
   1. Xác định các yếu tố bằng nhau từ hai tam giác đồng dạng:
      •  được suy ra từ việc  .
   2. Xác định các yếu tố bằng nhau trong hình bình hành  :
      •  được suy ra vì   là trung điểm của đường chéo   trong hình bình hành  .
   3. Kết luận:
      • Tứ giác   có hai đường chéo   và   cắt nhau tại trung điểm   của mỗi đường, do đó   là hình bình hành.

 Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên ˆADB=ˆCBD (so le trong)

Xét DADH và DCBK có:

ˆAHD=ˆCKB=90°;

AD = BC (chứng minh trên);

ˆADH=ˆCBK (do ˆADB=ˆCBD).

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).