Độ dài MN = {ab}{a + b}.

a) Chứng minh MN // DE Xét ABC có: M là trung điểm của AC (do BM là trung tuyến). N là trung điểm của AB (do CN là trung tuyến). MN là đường trung bình của ABC. MN // BC (1). Xét GBC có: D là trung điểm của GB (giả thiết). E là trung điểm của GC (giả thiết). DE là đường trung bình của GBC. DE // BC (2). Từ (1) và (2) suy ra: MN // DE (cùng song song với BC). b) Chứng minh ND // ME Từ kết quả câu a, ta có MN và DE cùng song song với BC và: MN = {1}{2} BC (tính chất đường trung bình ABC). DE = {1}{2} BC (tính chất đường trung bình GBC). MN = DE. Xét tứ giác MNDE có: MN // DE (chứng minh trên). MN = DE (chứng minh trên). Tứ giác MNDE là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Vì MNDE là hình bình hành nên các cạnh đối còn lại phải song song với nhau. Vậy: ND // ME (đpcm).

a) Chứng minh O là trung điểm của AD Xét BCM có: D là trung điểm của BC (do AD là trung tuyến). K là trung điểm của MC DK là đường trung bình của BCM. DK // BM (hay DK // OM). Ta có AM = {1}{2} MC và K là trung điểm MC nên AM = MK = KC. Xét ADK có: M là trung điểm của AK (vì AM = MK). MO // DK (do BM // DK). O là trung điểm của AD (định lý đường trung bình). b) Chứng minh OM = \frac{1}{4} BM Trong ADK, vì MO là đường trung bình nên: OM = {1}{2} DK. Trong BCM, vì DK là đường trung bình nên: DK = {1}{2} BM. Thay DK = {1}{2} BM vào biểu thức trên, ta được: OM = \frac{1}{2} {1}{2} BM = {1}{4} BM. Kết luận: OM = {1}{4} BM (đpcm).

​Lời giải

​Kẻ thêm đường phụ: Gọi K là trung điểm của DC. Kẻ MK.

​a) Chứng minh AD = {1}{2} DC

• ​Trong tam giác BDC, ta có:
• • ​M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến).
  • ​K là trung điểm của DC/MK là đường trung bình của tam giác BDC. MK // BD hay MK // ID.
• ​Trong tam giác AMK, ta có:
• • ​I là trung điểm của AM (giả thiết).
  • ​ID // MK (chứng minh trên). D là trung điểm của AK. \AD = DK.
• ​Mà theo cách vẽ, K là trung điểm của DC nên DK = KC = {1}{2} DC.
• ​Từ đó suy ra: AD = {1}{2} DC (đpcm).

​b) So sánh độ dài BD và ID

• ​Xét tam giác AMK, vì ID là đường trung bình (đi qua trung điểm I của AM và song song với MK) nên: ID = {1}{2} MK hay MK = 2 ID.
• ​Xét tam giác BDC, vì MK là đường trung bình nên: MK = {1}{2} BD hay BD = 2 MK.
• ​Thay MK = 2 ID vào biểu thức trên, ta được: BD = 2 (2 ID) = 4 ID.

​Kết luận: BD = 4 ID.

​

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có Vậy OA.OD = OB.OC

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

• Vì DE // AC nên AE/AB=CD/BC

• Vì DF // AB nên AF/AC=BD/BC

Khi đó, AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC=1 (đpcm).

Topic 1:healthy lifestyle can significantly reduce the risk of chronic diseases such as heart disease, diabetes, and certain cancers. Regular exercise strengthens the immune system and helps maintain a healthy weight. Furthermore, a balanced diet rich in essential nutrients provides the body with the energy it needs to function optimally. Beyond physical benefits, a healthy lifestyle also improves mental clarity, boosts mood, and reduces stress levels, leading to a happier and more fulfilling life.

Topic 2:One important custom is the reunion dinner on New Year's Eve, where we share a large meal and exchange good wishes. We also clean the house thoroughly before the New Year to sweep away bad luck and make way for good fortune. On the first day, we visit relatives and friends, exchanging lucky money and enjoying festive snacks. These traditions not only celebrate the holiday but also reinforce our family bonds and cultural heritage.

Topic 3:Regularly, responsibilities include doing the dishes after meals, taking out the trash, and keeping personal spaces tidy. More involved tasks might include assisting with grocery shopping, helping to prepare meals, or doing laundry. These actions ensure the household runs smoothly and reduce the burden on parents.

Topic 1:healthy lifestyle can significantly reduce the risk of chronic diseases such as heart disease, diabetes, and certain cancers. Regular exercise strengthens the immune system and helps maintain a healthy weight. Furthermore, a balanced diet rich in essential nutrients provides the body with the energy it needs to function optimally. Beyond physical benefits, a healthy lifestyle also improves mental clarity, boosts mood, and reduces stress levels, leading to a happier and more fulfilling life.

Topic 2:One important custom is the reunion dinner on New Year's Eve, where we share a large meal and exchange good wishes. We also clean the house thoroughly before the New Year to sweep away bad luck and make way for good fortune. On the first day, we visit relatives and friends, exchanging lucky money and enjoying festive snacks. These traditions not only celebrate the holiday but also reinforce our family bonds and cultural heritage.

Topic 3:Regularly, responsibilities include doing the dishes after meals, taking out the trash, and keeping personal spaces tidy. More involved tasks might include assisting with grocery shopping, helping to prepare meals, or doing laundry. These actions ensure the household runs smoothly and reduce the burden on parents.

Topic 1:healthy lifestyle can significantly reduce the risk of chronic diseases such as heart disease, diabetes, and certain cancers. Regular exercise strengthens the immune system and helps maintain a healthy weight. Furthermore, a balanced diet rich in essential nutrients provides the body with the energy it needs to function optimally. Beyond physical benefits, a healthy lifestyle also improves mental clarity, boosts mood, and reduces stress levels, leading to a happier and more fulfilling life.

Topic 2:One important custom is the reunion dinner on New Year's Eve, where we share a large meal and exchange good wishes. We also clean the house thoroughly before the New Year to sweep away bad luck and make way for good fortune. On the first day, we visit relatives and friends, exchanging lucky money and enjoying festive snacks. These traditions not only celebrate the holiday but also reinforce our family bonds and cultural heritage.

Topic 3:Regularly, responsibilities include doing the dishes after meals, taking out the trash, and keeping personal spaces tidy. More involved tasks might include assisting with grocery shopping, helping to prepare meals, or doing laundry. These actions ensure the household runs smoothly and reduce the burden on parents.