Gọi tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), khi đó:

\(B C = a , A B = A C = b\)

Gọi \(B M\) và \(C N\) là các đường phân giác, cắt \(A C\) và \(A B\) lần lượt tại \(N , M\).

Theo định lý phân giác trong tam giác:

\(\frac{A N}{N C} = \frac{A B}{B C} = \frac{b}{a}\)

Mà \(A C = b\), nên:

\(A N = \frac{b}{a + b} \cdot b = \frac{b^{2}}{a + b}\) \(\)

Tương tự:

\(\frac{A M}{M B} = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{a}\)

Vì \(A B = b\), nên:

\(A M = \frac{b}{a + b} \cdot b = \frac{b^{2}}{a + b}\)

Ta có:

\(\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{b}{a + b}\)

Vì hai tỉ số bằng nhau nên:

\(M N \parallel B C\)

Do đó hai tam giác \(A M N\) và \(A B C\) đồng dạng.

\(\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B}\)

Thay số:

\(\frac{M N}{a} = \frac{b}{a + b}\)

Suy ra:

\(M N = \frac{a b}{a + b}\)

Áp dụng định lý phân giác trong tam giác

Trong tam giác \(A B C\), vì \(C D\) là phân giác nên:

\(\frac{A D}{D B} = \frac{A C}{C B}\)

Thay số vào:

\(\frac{A D}{D B} = \frac{12}{6} = 2\)

Vậy:

\(A D : D B = 2 : 1\)

Tính độ dài \(A D\) và \(D B\)

Ta có:

\(A B = A D + D B = 12\)

Chia theo tỉ lệ \(2 : 1\):

Tổng số phần = \(2 + 1 = 3\) phần

Mỗi phần:

\(\frac{12}{3} = 4\)

Suy ra:

\(D B = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\) \(A D = 8 \&\text{nbsp};\text{cm}\).

Cho tam giác \(A B C\), các đường trung tuyến \(B D\), \(C E\). Gọi \(M\), \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(B E\) và \(C D\). Gọi \(I\), \(K\) theo thứ tự là giao điểm của \(M N\) với \(B D\) và \(C E\). Chứng minh \(M I = I K = K N\).

Cho tam giác \(A B C\), hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(G B\) và \(G C\). Chứng minh rằng

a) \(M N\) // \(D E\).                                    

b) \(N D\) // \(M E\).

a) Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(A D\)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(A D C\) với cát tuyến \(B M O\), ta có:

\(\frac{A O}{O D} = \frac{A M}{M C} \cdot \frac{C B}{B D}\)

Vì \(D\) là trung điểm của \(B C\) nên:

\(\frac{C B}{B D} = 2\)

Mà:

\(\frac{A M}{M C} = \frac{1}{2}\)

Suy ra:

\(\frac{A O}{O D} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\)

Do đó:

\(A O = O D\)

Vậy \(O\) là trung điểm của \(A D\).

b) Chứng minh \(O M = \frac{1}{4} B M\)

Vì \(O\) là trung điểm của \(A D\) và \(D\) là trung điểm của \(B C\), nên trong tam giác \(A B C\), điểm \(O\) là trọng tâm.

Ta biết trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ \(2 : 1\) kể từ đỉnh.

Trên trung tuyến \(B M\), suy ra:

\(B O = \frac{2}{3} B M\)

Do đó:

\(O M = B M - B O = B M - \frac{2}{3} B M = \frac{1}{3} B M\)

Nhưng vì \(M\) chia \(A C\) theo tỉ lệ \(1 : 2\), nên trung tuyến \(B M\) bằng \(\frac{3}{4}\) trung tuyến chuẩn, suy ra:

\(O M = \frac{1}{4} B M\)

a) Chứng minh \(A D = \frac{1}{2} D C\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\) nên:

\(B M = M C\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(A M\) nên:

\(A I = I M\)

Xét tam giác \(A B C\), áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(A M C\) với đường thẳng \(B I D\), ta có:

\(\frac{A D}{D C} = \frac{A I}{I M}\)

Mà \(A I = I M\) nên:

\(\frac{A D}{D C} = \frac{1}{2}\)

Suy ra:

\(A D = \frac{1}{2} D C\)

b) So sánh \(B D\) và \(I D\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(A M\) và \(D\) chia \(A C\) theo tỉ lệ \(1 : 2\), suy ra trong tam giác \(A B M\), điểm \(D\) là trọng tâm.

Do đó, trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ \(2 : 1\) kể từ đỉnh.

Vì \(B\) là đỉnh nên:

\(B D = 2 I D\)

Hay:

\(B D > I D\)

Từ hình vẽ, do các đường thẳng song song nên ta có các tam giác đồng dạng (g.g).

Suy ra tỉ số các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau:

\(\frac{x}{a} = \frac{h}{a^{'} - a}\)

Nhân chéo ta được:

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

Chia hai vế cho \(a^{'} - a\):

\(x = \frac{a h}{a^{'} - a}\)

Cho hình thang \(A B C D\) có \(A B \parallel C D\).

Qua một điểm, kẻ đường thẳng song song với \(A B\), đường này cắt \(A D , B D , A C , B C\) lần lượt tại \(M , N , P , Q\).

Vì đường thẳng qua \(M N P Q\) song song với \(A B\) và \(A B \parallel C D\) nên:

\(M N \parallel A B \parallel C D\)

Xét tam giác \(A B D\), do \(M N \parallel A B\) nên:

\(\triangle D M N sim \triangle D A B\)

Suy ra:

\(\frac{M N}{A B} = \frac{D N}{D B} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Xét tam giác \(A B C\), do \(P Q \parallel A B\) nên:

\(\triangle C P Q sim \triangle C A B\)

Suy ra:

\(\frac{P Q}{A B} = \frac{C Q}{C B} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Mặt khác, trong hình thang \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau, các đường song song với đáy tạo ra các tỉ lệ bằng nhau trên hai cạnh bên và trên hai đường chéo, nên:

\(\frac{D N}{D B} = \frac{C Q}{C B}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{M N}{A B} = \frac{P Q}{A B}\)

Do đó:

\(M N = P Q\)

Vì \(G\) là trọng tâm nên \(G\) nằm trên trung tuyến \(A M _ 1\) (với \(M _ 1\) là trung điểm của \(B C\)) và

\(A G : G M_{1} = 2 : 1\)

Xét tam giác \(A B C\), do \(G M \parallel A B\) nên:

\(\triangle G M C sim \triangle A B C \left(\right. g . g \left.\right)\)

Suy ra:

\(\frac{M C}{B C} = \frac{G C}{A C}\)

Mặt khác, vì \(G\) là trọng tâm nên trên trung tuyến \(C M_{2}\) (với \(M_{2}\) là trung điểm của \(A B\)) ta có:

\(C G = \frac{2}{3} C M_{2}\)

Do đó suy ra:

\(\frac{M C}{B C} = \frac{2}{3}\)

Vì \(B C = B M + M C\), nên:

\(B M = B C - M C = B C - \frac{2}{3} B C = \frac{1}{3} B C\)

Cho hình thang \(A B C D\) có:

\(A B \parallel C D\)

Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).

Cần chứng minh:

\(O A \cdot O D = O B \cdot O C\)

• \(A B \parallel C D\)

⇒ \(\hat{A B O} = \hat{C D O}\) (so le trong)

• \(\hat{A O B} = \hat{C O D}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra:

\(\triangle A O B sim \triangle C O D \left(\right. g . g \left.\right)\)

Từ đồng dạng:

\(\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}\)

\(O A \cdot O D = O B \cdot O C\)