Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

a/

Xét tg ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

Xét tg GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tg GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/

Xét tg ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tg ABG => ND//AG

Xét tg ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tg ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID

Dựa vào hình vẽ, ta thấy \(BC \perp AB'\) và \(B'C' \perp AB'\) , suy ra \(BC \parallel B'C'\) . Áp dụng định lý Thales vào tam giác \(AB'C'\) , ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh tương ứng là \(\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'}\) . Thay các giá trị độ dài đã cho vào biểu thức, ta được \(\frac{x}{x + h} = \frac{a}{a'}\) . Thực hiện nhân chéo ta có \(x \cdot a' = a \cdot (x + h)\) , tương đương với \(x \cdot a' = ax + ah\) . Chuyển vế và đặt nhân tử chung, ta có \(x(a' - a) = ah\) . Cuối cùng, ta thu được công thức tính khoảng cách là \(x=\frac{ah}{a' - a}\) .

Xét hình thang ABCD với đường thẳng song song với AB và CD cắt các đoạn thẳng tại các điểm M, N, P, Q theo thứ tự. Áp dụng định lý Thales vào tam giác ABD với MN // AB ta có tỉ số \(\frac{MN}{AB} = \frac{DM}{DA}\) . Tương tự, áp dụng định lý Thales vào tam giác ABC với PQ // AB, ta có tỉ số \(\frac{PQ}{AB} = \frac{CQ}{CB}\) . Theo định lý Thales cho hình thang đối với các đoạn thẳng chắn trên hai cạnh bên AD và BC, ta có \(\frac{DM}{DA} = \frac{CQ}{CB}\) . Từ các tỉ số trên, ta suy ra \(\frac{MN}{AB} = \frac{PQ}{AB}\) , dẫn đến kết quả cuối cùng làMN = PQ.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB, khi đó đường trung tuyến CI của tam giác ABC sẽ đi qua trọng tâm G. Theo tính chất trọng tâm, ta có tỉ lệ \(\frac{CG}{CI} = \frac{2}{3}\) , dẫn đến \(\frac{IG}{IC} = \frac{1}{3}\) . Xét tam giác BCI có đường thẳng qua G song song với AB (tức song song với BI) cắt BC tại M, áp dụng định lý Thales, ta có tỉ số \(\frac{BM}{BC} = \frac{IG}{IC}\) . Thay giá trị tỉ lệ của trọng tâm vào, ta được \(\frac{BM}{BC} = \frac{1}{3}\) , từ đó suy ra \(BM = \frac{1}{3}BC\) .

Xét hình thang ABCD có AB // CD, theo hệ quả của định lý Thales, ta có tỉ số giữa các đoạn thẳng tương ứng trên hai đường chéo cắt nhau tại O là \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\) . Từ tỉ lệ thức này, bằng cách thực hiện phép nhân chéo, ta suy ra được đẳng thức \(OA \cdot OD = OB \cdot OC\) . Đây là một tính chất cơ bản và quan trọng của hình thang khi xét các tam giác đồng dạng tạo bởi hai đường chéo.

Xét tam giác ABC có điểm D thuộc cạnh BC. Theo giả thiết, ta có DF //AB và ED // AC, do đó tứ giác AEDF là một hình bình hành. Áp dụng định lý Thales vào tam giác ABC với đường thẳng DF song song với cạnh AB, ta có tỉ số \(\frac{AF}{AC}\) = \(\frac{BD}{BC}\) . Tương tự, khi áp dụng định lý Thales với đường thẳng ED song song với cạnh AC, ta có tỉ số \(\frac{AE}{AB}\) = \(\frac{CD}{BC}\) Cộng hai vế của các đẳng thức trên, ta được \(\frac{AE}{AB}\)+ \(\frac{AF}{AC}\) = \(\frac{CD}{BC}\) + \(\frac{BD}{BC}\) Vì điểm D nằm trên cạnh BC nên CD + BD = BC, từ đó ta có \(\frac{CD + BD}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1\) . Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức \(\frac{AE}{AB}\)+\(\frac{AF}{AC}=1.\) .

Các từ ngữ thể hiện cảm xúc, tình cảm hoặc trạng thái tâm lý của nhân vật "em" và mọi người trong bài bao gồm:

• Đẹp đẽ: (Hình ảnh đẹp đẽ)
• Hạnh phúc: (Em đã rất hạnh phúc khi được quây quần...)
• Đủ đầy: (Mang đến trong em cảm giác thật đủ đầy...)
• Hấp dẫn: (Mang đến trong em cảm giác thật... hấp dẫn.)
• Mong muốn: (Tất cả mọi người vẫn luôn mong muốn được xem pháo hoa...)

Many students face significant stress, often stemming from too much schoolwork and intense peer pressure to succeed. Additionally, issues like bullying and spending too much time on social media can contribute to feeling overwhelmed. To manage this stress, it's essential to practice staying calm and relaxed through simple techniques. Students should also consider talking to teachers about their workload or concerns. Limiting digital distractions by turning off smartphones and avoiding bullies wherever possible are also effective ways to reduce daily anxiety.