Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^{2} = - x + m + 2\)
\(x^{2} + x - m - 2 = 0\)
+) a= 1 , b = 1 , c = \(- m - 2\)
+) Δ = \(b^{2} - 4 a c\) = \(1^{2} - 4.1. \left(\right. - m - 2 \left.\right)\) = 1 \(+ 4 m + 8\) = \(4 m + 9\)
Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) và parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) có một điểm chung duy nhất thì Δ = 0
\(4 m + 9 = 0\)
\(4 m = - 9\)
\(m = \frac{- 9}{4}\)
Vậy \(m = - \frac{9}{4}\) là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^{2} = 2 m x + 2 m - 3\)
\(x^{2} - 2 m x - 2 m + 3 = 0\)
+) a = 1 , b = \(- 2 m x \Rightarrow b^{'} = - m x\) , c = \(- 2 m + 3\)
+) \(\Delta^{'}\) = \(\left(\left(\right. b^{'} \left.\right)\right)^{2} - a c = \left(\left(\right. - m \left.\right)\right)^{2} - 1. \left(\right. - 2 m + 3 \left.\right) = m^{2} + 2 m - 3\)
Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) tiếp xúc với parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) thì Δ′ = 0
\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)
\(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m + 3 \left.\right) = 0\)
Suy ra \(m - 1 = 0\) hoặc \(m + 3 = 0\)
+) \(m - 1 = 0\) hay \(m = 1\)
+) \(m + 3 = 0\) hay \(m = - 3\)
Vậy \(m = 1\) và \(m = - 3\) là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^{2} = \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 4\)
\(x^{2} - \left(\right. m - 1 \left.\right) x - m - 4 = 0\)
Để d cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu hay ac<0
\(1^{2} . \left(\right. - m - 4 \left.\right) < 0\)
\(- m - 4 < 0\)
\(- m < 4\)
\(m > 4\)
Vậy \(m > 4\) thì d cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{2} x^{2}\) = \(2 x + m\)
\(\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - m = 0\)
+) a = \(\frac{1}{2}\) , b = -2 \(= >\) b' = -1 , c = \(- m\)
+) Δ′ = \(\left(\left(\right. b^{'} \left.\right)\right)^{2}\) - ac = \(\left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2}\) - \(\frac{1}{2} . \left(\right. - m \left.\right)\) = 1 + \(\frac{1}{2} m\)
Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + m\) cắt \(\left(\right. P \left.\right) : y = \frac{1}{2} x^{2}\) tại hai điểm phân biệt thì Δ′ > 0
\(1 + \frac{1}{2} m > 0\)
\(\frac{1}{2} m > - 1\)
\(m = - 1 : \frac{1}{2}\)
\(m = - 2\)
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm

Vì đồ thị hàm số \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng \(2\) nên ta có:
2 = −x+3
x = 3 − 2
x = 1
Vậy điểm cắt có tọa độ là (1;2)
Vì đồ thị hàm số  \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng y=−x+3 tại tọa độ (1;2) nên ta có:
2 = (1−m).1
2 = 1 - m
m = 1 - 2
m = -1
Vậy m = -1 thì đồ thị hàm số \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng \(2\)