Gọi tên khu vui chơi hình chữ nhật là \(A B C D\).

Đặt \(O A = x\) \(\left(\right. 0 < x < 10 \left.\right)\) (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông \(A D O\), ta có: \(A D = \sqrt{1 0^{2} - x^{2}}\)(cm).

Khi đó diện tích của khu vui chơi là:

\(A D . A B = 2 x . \sqrt{1 0^{2} - x^{2}} \leq x^{2} + 1 0^{2} - x^{2} = 100\) (cm\(^{2}\)).

Dấu “=” xảy ra, khi \(x = \sqrt{1 0^{2} - x^{2}}\)

\(x^{2} = 1 0^{2} - x^{2}\)

\(x = 5 \sqrt{2}\) (cm).

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi là \(100\) cm\(^{2}\) và đạt được khi hai cạnh lần lượt là \(5 \sqrt{2}\) cm và \(10 \sqrt{2}\) cm

Hướng dẫn giải:

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có: \(A B\), \(A C\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(A B = A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Mà \(O B = O C = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(B C\)

Do đó \(O A\) là đường trung trực của \(B C\) nên \(O A ⊥ \&\text{nbsp}; B C\) tại \(H\).

b) Xét tam giác \(B E D\) có \(O E\) là trung tuyến. Mặt khác \(O E = \frac{B D}{2}\) nên tam giác \(B E D\) vuông tại \(E\).

Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A B D\) có

\(\hat{B A D}\): góc chung

\(\hat{B E A} = \hat{D B A} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A B E sim \Delta A D B\) (g.g)

Khi đó \(\hat{A B E} = \hat{A D B}\) (hai góc tương ứng)

và \(\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B}\) hay \(A B^{2} = A D . A E\) (đpcm).

c) Xét tam giác vuông \(A O B\) có:

\(cos ⁡ \hat{A O B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 7 5^{\circ}\). Do đó \(\hat{B O C} = 15 0^{\circ}\).

Khi đó \(\hat{C O D} = 3 0^{\circ}\). 

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là:

\(S = \frac{\pi R^{2} . 30}{360} = \frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(O C\), \(O D\) và cung nhỏ \(C D\) là \(\frac{\pi R^{2}}{12}\) (đvdt).