a) Tính \(H B\) và \(H C\):

Trong tam giác \(A H B\):

\(tan ⁡ 28^{\circ} = \frac{A H}{H B} \Rightarrow H B = \frac{A H}{tan ⁡ 28^{\circ}} = \frac{4}{0.5317} \approx 7.52 \textrm{ } c m .\)

Trong tam giác \(A H C\):

\(tan ⁡ 41^{\circ} = \frac{A H}{H C} \Rightarrow H C = \frac{A H}{tan ⁡ 41^{\circ}} = \frac{4}{0.8693} \approx 4.60 \textrm{ } c m .\)

b) Tính \(A H\) và \(A C\):

\(A H = 4 \textrm{ } c m\) (đề cho).

Trong tam giác \(A H C\):

\(sin ⁡ 41^{\circ} = \frac{A H}{A C} \Rightarrow A C = \frac{A H}{sin ⁡ 41^{\circ}} = \frac{4}{0.6561} \approx 6.10 \textrm{ } c m .\)

✅ Kết quả:

\(H B \approx 7.52 \textrm{ } c m , H C \approx 4.60 \textrm{ } c m , A H = 4 \textrm{ } c m , A C \approx 6.10 \textrm{ } c m .\)

Gọi \(A C = a , \textrm{ }\textrm{ } A B = c = 3 , \textrm{ }\textrm{ } B C = a = 4,5.\)

Theo định luật sin:

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{c}{sin ⁡ C} = \frac{b}{sin ⁡ B} .\)

Trước tiên, ta tìm góc \(A\):

\(\frac{sin ⁡ A}{a} = \frac{sin ⁡ B}{b} \Rightarrow sin ⁡ A = \frac{a sin ⁡ B}{b} = \frac{4,5 \cdot sin ⁡ 60^{\circ}}{3} = \frac{4,5 \cdot 0,866}{3} = 1,299 > 1.\)

Điều này không thể xảy ra, vì \(sin ⁡ A \leq 1\).

Kết luận:
Không tồn tại tam giác \(A B C\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Gọi \(B C = a , \textrm{ }\textrm{ } A C = b = 3,8 , \textrm{ }\textrm{ } A B = c = 2,1.\)

Theo định luật cosin trong tam giác:

\(b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos ⁡ B\)

Thay số vào:

\(3,8^{2} = a^{2} + 2,1^{2} - 2 \cdot a \cdot 2,1 \cdot cos ⁡ 70^{\circ}\) \(14,44 = a^{2} + 4,41 - 4,2 a \cdot 0,342\) \(14,44 = a^{2} + 4,41 - 1,44 a\) \(a^{2} - 1,44 a - 10,03 = 0\)

Giải phương trình này, ta được:

\(a \approx 3,96 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)

Tiếp theo, dùng định luật sin:

\(\frac{sin ⁡ A}{a} = \frac{sin ⁡ B}{b} \Rightarrow sin ⁡ A = \frac{a sin ⁡ B}{b}\) \(sin ⁡ A = \frac{3,96 \cdot sin ⁡ 70^{\circ}}{3,8} \approx \frac{3,96 \cdot 0,94}{3,8} \approx 0,979\) \(A \approx 78,7^{\circ}\)

Suy ra:

\(C = 180^{\circ} - \left(\right. A + B \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. 78,7^{\circ} + 70^{\circ} \left.\right) = 31,3^{\circ}\)
ta có kết quả : A≈78,7∘,B=70∘,C≈31,3∘,BC≈3,96 cm.

Ta có \(\hat{B} = 65^{\circ} , \&\text{nbsp}; \hat{C} = 40^{\circ} , \&\text{nbsp}; B C = a = 4,2 \&\text{nbsp};\text{cm} .\)

Góc \(A = 180^{\circ} - \left(\right. B + C \left.\right) = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 40^{\circ} = 75^{\circ} .\)

Dùng định luật sin:

với \(b = A C\) (đối góc \(B\)), \(c = A B\) (đối góc \(C\)).

Tính:

Kết luận: \(\hat{A} = 75^{\circ} , \&\text{nbsp}; A C \approx 3,94 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A B \approx 2,79 \&\text{nbsp};\text{cm} .\)

Trong tam giác vuông

𝐴

𝐵

𝐻

ABH:

𝐴

𝐵

=

𝐴

𝐻

sin

⁡

40

∘

=

6

sin

⁡

40

∘

≈

9,33

→

9,3

AB=

sin40

∘

AH

​

=

sin40

∘

6

​

≈9,33→9,3.

Trong tam giác vuông

𝐴

𝐻

𝐶

AHC:

𝐴

𝐶

=

𝐴

𝐻

sin

⁡

35

∘

=

6

sin

⁡

35

∘

≈

10,46

→

10,5

AC=

sin35

∘

AH

​

=

sin35

∘

6

​

≈10,46→10,5.

𝐵

𝐶

=

𝐵

𝐻

+

𝐻

𝐶

=

𝐴

𝐵

cos

⁡

40

∘

+

𝐴

𝐶

cos

⁡

35

∘

≈

15,72

→

15,8

BC=BH+HC=ABcos40

∘

+ACcos35

∘

≈15,72→15,8.