Vì F nằm trên đường tròn đường kính BC nên \widehat{BFC} = 90^\circ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra CF \perp AB tại F, hay \widehat{BFH} = 90^\circ. Tương tự, \widehat{BEC} = 90^\circ nên BE \perp AC tại E. Xét trực tâm H: Trong tam giác ABC, hai đường cao CF và BE cắt nhau tại H, do đó H là trực tâm. Suy ra đường thẳng AH (đi qua D) vuông góc với BC tại D, dẫn đến \widehat{BDH} = 90^\circ. Kết luận: Xét tứ giác BFHD có: \widehat{BFH} + \widehat{BDH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ. Vì tổng hai góc đối bằng 180^\circ nên tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn.

Vì BD là đường cao

Suy ra suy ra góc b d c bằng 90 độ

Suy ra tam giác bdc vuông tại d

Suy ra tam giác bdc nội tiếp đường tròn đường kính BC

Suy ra ba điểm b,d,c cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Vì CE là đường cao

Suy ra góc ceb bằng 90 độ

Suy ra tam giác ceb vuông tại e

Suy ra tam giác ceb nội tiếp đường tròn đường kính BC

Suy ra tam giác ceb cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) ta có

Suy ra bốn điểm b, c, d, e cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Suy ra tứ giác bcde nội tiếp

Vì AB là tiếp tuyến

Suy ra góc abo = 90°

Suy ra tam giác abo vuông tại b

Suy ra tam giác abo nội tiếp đường tròn đường kính ao

Suy ra ba điểm a, b, o, cùng thuộc đường tròn đường kính ao (1)

Vì AC là đường cao

Suy ra ở góc aco bằng 90 độ

Suy ra tam giác aco vuông tại c

Suy ra tam giác aco nội tiếp đường tròn đường kính ao

Suy ra ba điểm a , c, o cùng thuộc đường tròn đường kính ao (2)

Từ (1),(2) ta có

Suy ra bốn điểm a,b,o,c cùng thuộc đường tròn đường kính ao

Suy ra tự giác ABOC nội tiếp