a) Tứ giác A E D F AEDF có E A F ^ = A E D ^ = A F D ^ = 90 ∘ EAF = AED = AFD =90 ∘ nên là hình chữ nhật. Δ A B C ΔABC vuông cân tại A A có A M AM là trung tuyến nên A M AM cũng là đường phân giác E A F ^ EAF . Hình chữ nhật A E D F AEDF có đường chéo A D AD là tia phân giác E A F ^ EAF nên là hình vuông. b) Δ A E F ΔAEF vuông tại A A có A E = A F AE=AF nên vuông cân tại A A Suy ra F 1 ^ = 45 ∘ = C ^ F 1 ​ ​ =45 ∘ = C mà F 1 ^ , C ^ F 1 ​ ​ , C đồng vị nên E F EF // $BC.$ c) Gọi O O là giao của A D AD với E F EF suy ra O E = O D = O F = O A OE=OD=OF=OA Δ E N F ΔENF vuông tại N N có N O NO là đường trung tuyến nên N O = E O = F O NO=EO=FO Δ A N D ΔAND có N O NO là đường trung tuyến mà N O = A D 2 NO= 2 AD ​ suy ra Δ A N D ΔAND vuông tại $N.$​​​​​​​​

a) Tứ giác A D M E ADME có D A E ^ = D ^ = E ^ = 90 ∘ DAE = D = E =90 ∘ nên A D M E ADME là hình chữ nhật. b) Vì D M ⊥ A B DM⊥AB và A C ⊥ A B AC⊥AB nên D M DM // A C AC suy ra C ^ = B M D ^ C = BMD (so le trong). Xét Δ D M B ΔDMB và Δ E C M ΔECM có: D ^ = E ^ = 90 ∘ D = E =90 ∘ B M = C M BM=CM (giả thiết) D M B ^ = C ^ DMB = C (so le trong) Vậy Δ D M B = Δ E C M ΔDMB=ΔECM (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra M E = B D ME=BD (hai cạnh tương ứng) mà M E = A D ME=AD nên A D = B D AD=BD. Tứ giác A M B I AMBI có hai đường chéo A B , M I AB,MI cắt nhau tại D D là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Mà M I ⊥ A B MI⊥AB suy ra A M B I AMBI là hình thoi. c) Để A M B I AMBI là hình vuông thì A M ⊥ B M AM⊥BM hay A M AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên Δ A B C ΔABC vuông cân tại $A.$ d) Giả sử A M AM cắt P Q PQ tại F F và P Q PQ cắt A H AH tại O O. Khi đó Δ O A Q ΔOAQ có O A = O Q OA=OQ nên Δ O A Q ΔOAQ cân tại O O suy ra Q 1 ^ = O A Q ^ Q 1 ​ ​ = OAQ ​ Δ A M C ΔAMC cân tại M M suy ra A 1 ^ = C ^ A 1 ​ ​ = C Do đó, A 1 ^ + Q 1 ^ = C ^ + O A Q ^ = 90 ∘ A 1 ​ ​ + Q 1 ​ ​ = C + OAQ ​ =90 ∘ Suy ra Δ F A Q ΔFAQ vuông tại F F hay A M ⊥ P Q . AM⊥PQ.

a) Tứ giác A B C D ABCD có hai đường chéo A C , B D AC,BD cắt nhau tại trung điểm N N của mỗi đường nên là hình bình hành. b) Ta có A P ⊥ B C AP⊥BC; A Q AQ // B C BC suy ra A P ⊥ A Q AP⊥AQ. Tứ giác A P C Q APCQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Khi đó hai đường chéo A C , P Q AC,PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà N A = N C NA=NC nên N N là trung điểm của P Q PQ. Suy ra P , N , Q P,N,Q thẳng hàng. c) Để tứ giác A B C D ABCD là hình vuông thì ta cần A B ⊥ B C , A B = B C AB⊥BC,AB=BC hay Δ A B C ΔABC vuông cân tại $B.$

​​​a) Ta có \(A D = B C\) suy ra \(\frac{A D}{2} = \frac{B C}{2}\) nên \(M C = N D\) và \(M C\) // \(N D\)

Do đó, \(M C D N\) là hình bình hành.

Lại có \(C D = A B = \frac{A D}{2} = N D\) nên \(M C D N\) là hình thoi

b) \(B M\) // \(A D\) suy ra \(A B M D\) là hình thang.

Mà \(\hat{A D C} = 120^{\circ}\) mà \(D M\) là phân giác \(\hat{A D C}\) nên \(\hat{A D M} = 60^{\circ} = \hat{B A D}\).

Vậy \(A B M D\) là hình thang cân.

c) \(\Delta K A D\) có \(\hat{K A D} = \hat{K D A}\) nên là tam giác cân.

Xét \(\Delta M B K\) và \(\Delta M C D\) có:

     \(M B = M C\) (giả thiết)

     \(\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}\) (đối đỉnh)

     \(\hat{B_{1}} = \hat{C}\) (so le trong)

Vậy \(\Delta M B K = \Delta M C D\) (g.c.g) suy ra \(M K = M D\) (hai cạnh tương ứng).

Khi đó \(A M\) là đường trung tuyến và \(B K = C D\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(C D = A B\) suy ra \(A B = B K\) hay \(D B\) là đường trung tuyến.

Khi đó, \(\Delta K A D\) có ba đường trung tuyến \(A M , B D , K N\) đồng quy.

) Ta có O 1 ^ + O 3 ^ = 90 ∘ O 1 ​ ​ + O 3 ​ ​ =90 ∘ và O 2 ^ + O 3 ^ = 90 ∘ O 2 ​ ​ + O 3 ​ ​ =90 ∘ suy ra O 1 ^ = O 2 ^ O 1 ​ ​ = O 2 ​ ​ . Mặt khác A 1 ^ = B 1 ^ = 45 ∘ A 1 ​ ​ = B 1 ​ ​ =45 ∘ . Xét Δ A O P ΔAOP và Δ B O R ΔBOR có O A = O B OA=OB ( giả thiết) A 1 ^ = B 1 ^ = 4 5 ∘ A 1 ​ ​ = B 1 ​ ​ =45 ∘ O 1 ^ = O 2 ^ O 1 ​ ​ = O 2 ​ ​ (chứng minh trên) Suy ra Δ A O P = Δ B O R ΔAOP=ΔBOR (g.c.g) b) Từ Δ A O P = Δ B O R ΔAOP=ΔBOR suy ra O P = O R OP=OR (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự cho Δ O B R = Δ O C Q ΔOBR=ΔOCQ và Δ O C Q = Δ O D S ΔOCQ=ΔODS Suy ra O R = O Q OR=OQ và O Q = O S OQ=OS. Khi đó O P = O R = O S = O Q . OP=OR=OS=OQ. c) Tứ giác P R Q S PRQS là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau. Mà Δ O P R ΔOPR có O P = O R OP=OR và P O R ^ = 90 ∘ POR =90 ∘ nên Δ O P R ΔOPR là tam giác vuông cân tại O O Suy ra P 1 ^ = 45 ∘ P 1 ​ ​ =45 ∘ . Tương tự P 2 ^ = 45 ∘ P 2 ​ ​ =45 ∘ nên R P S ^ = P 1 ^ + P 2 ^ = 90 ∘ RPS = P 1 ​ ​ + P 2 ​ ​ =90 ∘ . Hình thoi P R Q S PRQS có R P S ^ = 90 ∘ RPS =90 ∘ nên nó là hình vuông.