Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

ABAB′=BCBC′⇒xx+h=aa′⇒a′x=a(x+h)⇒a′x−ax=ah

⇒x(a′−a)=ah⇒x=aha′−a (đpcm).

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra: DNDB=MNAB  (hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra: CQCB=PQAB  (Hệ quả định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt) và AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD.

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: DNDB=CQCB (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB=PQAB hay MN = PQ (điều phải chứng minh).

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra: DNDB=MNAB  (hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra: CQCB=PQAB  (Hệ quả định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt) và AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD.

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: DNDB=CQCB (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB=PQAB hay MN = PQ (điều phải chứng minh).

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra: DNDB=MNAB  (hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra: CQCB=PQAB  (Hệ quả định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt) và AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD.

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: DNDB=CQCB (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB=PQAB hay MN = PQ (điều phải chứng minh).

Ta có DF//AB (F thuộc AC, D thuộc BC)(gt)

Áp dụng định lí thales vào tam giác ABC ta được

AF/AC=BD/BC

Chứng minh tương tự ta được

AE/AB=CD/BC

=> AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC

=>AE/AB+AF/AC=CD+BD/BC

Vì D nằm trên đoạn thẳng BC nên CD+BD=BC

AE/AB+AF/AC=BC/BC=1