=3/16 nhé

a) \(A = \left(\right. - 2 x^{2} y \left.\right)^{2} + 4 x y - 6 x y^{2}\) tại \(x = \frac{1}{2}\); \(y = 4\).

• \(\left(\right. - 2 x^{2} y \left.\right)^{2} = \left(\right. - 2 \cdot \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} \cdot 4 \left.\right)^{2} = \left(\right. - 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 \left.\right)^{2} = \left(\right. - 2 \cdot 1 \left.\right)^{2} = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} = 4\)
• \(4 x y = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 2 = 8\)
• \(- 6 x y^{2} = - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 = - 6 \cdot 8 = - 48\)

suy ra

\(A = 4 + 8 - 48 = 12 - 48 = - 36\)

b) \(B = 25 x^{2} - 10 x y^{2} + y^{4}\) tại \(x = 2\); \(y = 3\).

Thay

• \(25 x^{2} = 25 \cdot 2^{2} = 25 \cdot 4 = 100\)
• \(- 10 x y^{2} = - 10 \cdot 2 \cdot 3^{2} = - 10 \cdot 2 \cdot 9 = - 180\)
• \(y^{4} = 3^{4} = 81\)

suy ra

\(B = 100 - 180 + 81 = 1\)

c) \(C = \left(\right. 3 x + 2 \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. 3 x + 2 \left.\right) \left(\right. 2 y - 1 \left.\right) + \left(\right. 2 y - 1 \left.\right)^{2}\) tại \(x = \frac{1}{3}\); \(y = \frac{1}{2}\).

Thay

• \(3 x + 2 = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 = 1 + 2 = 3\)
• \(2 y - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\)

Vậy:

• \(\left(\right. 3 x + 2 \left.\right)^{2} = 3^{2} = 9\)
• \(2 \left(\right. 3 x + 2 \left.\right) \left(\right. 2 y - 1 \left.\right) = 2 \cdot 3 \cdot 0 = 0\)
• \(\left(\right. 2 y - 1 \left.\right)^{2} = 0^{2} = 0\)

suy ra

\(C = 9 + 0 + 0 = 9\)

d) \(D = 6 x \left(\right. 2 x - 7 \left.\right) - \left(\right. 3 x - 5 \left.\right) \left(\right. 4 x + 7 \left.\right)\) tại \(x = - 2\).

Thay

• \(6 x \left(\right. 2 x - 7 \left.\right) = 6 \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) \cdot \left(\right. 2 \cdot - 2 - 7 \left.\right) = - 12 \cdot \left(\right. - 4 - 7 \left.\right) = - 12 \cdot \left(\right. - 11 \left.\right) = 132\)
• \(\left(\right. 3 x - 5 \left.\right) \left(\right. 4 x + 7 \left.\right) = \left(\right. 3 \cdot - 2 - 5 \left.\right) \left(\right. 4 \cdot - 2 + 7 \left.\right) = \left(\right. - 6 - 5 \left.\right) \left(\right. - 8 + 7 \left.\right) = \left(\right. - 11 \left.\right) \left(\right. - 1 \left.\right) = 11\)

Vậy:

\(D = 132 - 11 = 121\)

e) \(E = 3 x^{2} - 2 x + 3 y^{2} - 2 y + 6 x y - 100\) tại \(x + y = 10\).

Ta có \(x + y = 10\). suy ra

\(y = 10 - x\) thay vào biểu thức.

Ta được:

\(E = 3 x^{2} - 2 x + 3 \left(\right. 10 - x \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. 10 - x \left.\right) + 6 x \left(\right. 10 - x \left.\right) - 100\)

\(3 x^{2} - 2 x + 3 \left(\right. 100 - 20 x + x^{2} \left.\right) - 20 + 2 x + 60 x - 6 x^{2} - 100\) = 0

• \(3 x^{2} + 3 x^{2} - 6 x^{2} = 0\)
• \(- 2 x - 60 x + 2 x + 60 x = \left(\right. - 2 x + 2 x \left.\right) + \left(\right. - 60 x + 60 x \left.\right) = 0 + 0 = 0\)
• Các hằng số: \(300 - 20 - 100 = 180\)

Vậy:

\(E = 0 + 0 + 180 = 180\)

Ta xét các trường hợp của số nguyên tố \(p\).

Trường hợp 1: \(p = 2\)

Nếu \(p = 2\), thì \(8 p - 1 = 8 \left(\right. 2 \left.\right) - 1 = 16 - 1 = 15\).
Vì 15 không phải là số nguyên tố (vì \(15 = 3 \times 5\)), nên trường hợp này bị loại theo giả thiết của đề bài.

Trường hợp 2: \(p = 3\)

Nếu \(p = 3\), thì \(8 p - 1 = 8 \left(\right. 3 \left.\right) - 1 = 23\). Số 23 là số nguyên tố (thỏa mãn).
Ta xét \(8 p + 1\):
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 3 \left.\right) + 1 = 24 + 1 = 25\)
Vì \(25 = 5 \times 5\), nên 25 là hợp số. (Điều phải chứng minh đúng với \(p = 3\)).

Trường hợp 3: \(p\) là số nguyên tố và \(p > 3\)

Khi \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, thì \(p\) không chia hết cho 3.
Do đó, \(p\) khi chia cho 3 chỉ có thể dư 1 hoặc dư 2.

a) Nếu \(p\) chia 3 dư 2 (tức là \(p = 3 k + 2\), với \(k \geq 0\)):
Ta xét biểu thức \(8 p - 1\):
\(8 p - 1 = 8 \left(\right. 3 k + 2 \left.\right) - 1 = 24 k + 16 - 1 = 24 k + 15\)
Ta thấy \(24 k + 15 = 3 \left(\right. 8 k + 5 \left.\right)\).
Điều này có nghĩa là \(8 p - 1\) chia hết cho 3.
Vì \(8 p - 1\) là số nguyên tố (theo giả thiết), nên nếu nó chia hết cho 3, thì bắt buộc nó phải bằng 3.
\(8 p - 1 = 3 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 p = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p = \frac{4}{8} = 0.5\)
Số \(p = 0.5\) không phải là số nguyên tố, nên trường hợp này bị loại.

b) Nếu \(p\) chia 3 dư 1 (tức là \(p = 3 k + 1\), với \(k \geq 1\)):
Trường hợp này là trường hợp duy nhất còn lại khi \(p > 3\).
Ta xét biểu thức \(8 p + 1\):
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) + 1 = 24 k + 8 + 1 = 24 k + 9\)
Ta thấy \(24 k + 9 = 3 \left(\right. 8 k + 3 \left.\right)\).
Do đó, \(8 p + 1\) chia hết cho 3.
Vì \(p > 3\), nên \(8 p + 1 > 8 \left(\right. 3 \left.\right) + 1 = 25\). Tức là \(8 p + 1\) là một số lớn hơn 3 và chia hết cho 3.
Vậy \(8 p + 1\) là hợp số.

a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)