Trong ∆ABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB D là trung điểm của cạnh AC Nên ED là đường trung bình của ∆ABC ⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác) +) Tứ giác BCDE có ED // BC nên BCDE là hình thang. Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE M là trung điểm cạnh bên BE N là trung điểm cạnh bên CD Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE (tính chất đường trung bình hình thang) Trong ∆BED, ta có: M là trung điểm BE MI // DE Suy ra: MI là đường trung bình của ΔBED ⇒ MI = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác) Trong ∆CED ta có: N là trung điểm CD NK // DE Suy ra: NK là đường trung bình của ΔCED ⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác) IK = MN – (MI + NK) = 3/4 BC – (1/4 BC + 1/4 BC) = 1/4 BC ⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC

Xét Δ ABC có NA = NB; MA = MC ⇒ NM là đường trung bình của ΔABC ⇒ MN // BC; MN = 1/2 BC (1) Xét Δ GBC có: DG = DB; EG = EC ⇒ ED là đường trung bình của Δ GBC ⇒ ED // BC; ED = 1/2 BC Từ (1) và (2) suy ra: MN // DE; MN = ED ⇒ Tứ giác NMED là hình bình hành ⇒ ME // ND

a/ Gọi E là trung điểm của MC Từ giả thiết: AM=1/2MC nên AM = ME = EC Xét tam giác BCM có ME = EC (cmt); DB = DC (gt) ⇒ DE là đường trung bình của tam giác BCM ⇒ DE // BM Xét tam giác ADE có AM = ME (cmt) BM // DE (cmt) ⇒ OM // DE ⇒ OA = OD (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) b/ Ta có DE là đường trung bình của tam giác BCM ⇒ DE=1/2BM Xét tam giác ADE có OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) ⇒ OM là đường trung bình của tam giác ADE ⇒ OM=1/2DE=1/2×1/2BM=1/4BM

Qua M kẻ MN // BD. Trong ∆AMN có I là trung điểm của AM, ID//MN ⇒AD=DN Trong ∆BCD có M là trung điểm của BC, MN//BD ⇒ND=NC ⇒AD=DN=NC ⇒AD=1/2DC

Qua M kẻ MN // BD. Trong ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID∥MN⇒AD=DN. Trong ΔBCD, có M là trung điểm của BC, MN∥BD⇒ND=NC. ⇒AD=DN=NC⇒AD=1/2DC

Qua M kẻ MN // BD. Trong ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID∥MN⇒AD=DN. Trong ΔBCD, có M là trung điểm của BC, MN∥BD⇒ND=NC. ⇒AD=DN=NC⇒AD=1/2DC

Xét tam giác ABC có BC vuông góc với ab' và b'c' vuông góc với AB

Suy ra BC//B'C'

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ THALES TA CÓ

AB/AB'=BC/B'C'

Suy ra x/x + h = a/a'

Suy ra a'x = a ×( a + h)

Suy ra a'x - ax = h

Suy ra x ×(a'- a)=ah

Suy ra x = ab / a' - a(điều phải chứng minh)

Vì MN // với AB (giả thiết)

Suy ra DN/ DB = MN / AB(ĐỊNH LÝ THALÈS) (1)

vì PQ//AB(giả thiết )

Suy ra CQ/CB=PQ/AB(định lý thalès)(2)

Ta có:NQ//AB(giả thiết)

AB//CD(giả thiết )

Suy ra NQ//CD

Vì NQ//CD(chứng minh trên )

Suy ra DN/DB=CQ/CB(định lý thalès)(3)

Từ (1)(2)(3)

Suy ra MN/AB=PQ/AB hay MN=PQ(điều phải chứng minh)

Lấy d là trung điểm của BC

Suy ra AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vì g là trọng tâm của tam giác ABC nên g nằm trên AD

TA CÓ AG/AD=BM/2BD=2/2×3=1/3

Suy ra BM= 1/3 BC (điều phải chứng minh)

Ta có AB//CD (giả thiết)

Áp dụng định lý THALÈS ta có:

OA/ OC = OB / OD ( định lý thalès)

Vậy OA.OB = OB. OC