Vì 

là hình bình hành nên 

và 

.

là trung điểm của 

nên 

.

là trung điểm của 

nên 

.
Mà 

nên 

.
Lại có 

nên 

.
Tứ giác 

có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (

và 

) nên 

là hình bình hành.

Vì 

là hình bình hành nên hai đường chéo 

và 

cắt nhau tại trung điểm 

của mỗi đường. 
Vì 

là hình bình hành (chứng minh ở câu a)) nên hai đường chéo 

và 

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
Do đó, 

là trung điểm của 

và cũng là trung điểm của 

.
Vì 

là trung điểm của 

nên ba điểm 

thẳng

Trong tam giác ABC, G là trọng tâm, BM và CN là hai đường trung tuyến. Do đó, G là giao điểm của BM và CN. 
Ta có M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB. 
Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên 

và 

Theo đề bài, P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC. 
Trong tam giác GBC, PQ là đường trung bình nên 

và 

MN//BC và PQI/BC → MN/IPO

• MN ={ BC và P® = =BC → MN = PQ

Tứ giác PQMN có hai cạnh đối song song và bằng nhau (MN//PQ và MN = PQ).

Do đó, tứ giác PQMN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vậy MNPQ là hình Bh

overrightarrow{DF}.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EF}.

⇒ Tứ giác AEFD có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, ta chứng minh cho ABFC:

Trong ABCD là hình bình hành ⇒ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC},

Mà C là trung điểm của DF ⇒ \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CD}.

⇒ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CF}.

Ta cũng có thể chứng minh \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BC

Gọi:

• M là trung điểm của AF,
• N là trung điểm của DE,
• P là trung điểm của BC.

Ta cần chứng minh M \equiv N \equiv P.

Trong hình bình hành AEFD:

Hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

⇒ Trung điểm M của AF cũng là trung điểm N của DE.

⇒ M \equiv N.

Trong hình bình hành ABFC:

Hai đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

⇒ Trung điểm M của AF cũng là trung điểm P của BC.

⇒ M \equiv P.

Vậy M \equiv N \equiv P.

• OA=OC𝑂𝐴=𝑂𝐶(vì O là trung điểm của AC) 
• ∠OAM=∠OCN∠𝑂𝐴𝑀=∠𝑂𝐶𝑁(hai góc so le trong, vì AB // CD) 
• ∠AOM=∠CON∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑁(hai góc đối đỉnh) 

• OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁(hai cạnh tương ứng) 
• AM=CN𝐴𝑀=𝐶𝑁(hai cạnh tương ứng) 

• Tứ giác AEFD:
  • Vì ABCD là hình bình hành nên  AD∥BC𝐴𝐷∥𝐵𝐶và  AD=BC𝐴𝐷=𝐵𝐶.
  • E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. 
  • Do  AB∥CD𝐴𝐵∥𝐶𝐷nên  AE∥DF𝐴𝐸∥𝐷𝐹.
  • Vì ABCD là hình bình hành nên  AB=CD𝐴𝐵=𝐶𝐷.
  • AE=12AB𝐴𝐸=12𝐴𝐵và  DF=12CD𝐷𝐹=12𝐶𝐷. Do đó,  AE=DF𝐴𝐸=𝐷𝐹.
  • Tứ giác AEFD có cặp cạnh đối  AE𝐴𝐸và  DF𝐷𝐹song song và bằng nhau nên AEFD là hình bình hành. 
• Tứ giác AECF:
  • Vì ABCD là hình bình hành nên  AB∥CD𝐴𝐵∥𝐶𝐷và  AB=CD𝐴𝐵=𝐶𝐷.
  • Do  AB∥CD𝐴𝐵∥𝐶𝐷nên  AE∥FC𝐴𝐸∥𝐹𝐶.
  • AE=12AB𝐴𝐸=12𝐴𝐵và  FC=12CD𝐹𝐶=12𝐶𝐷. Do đó,  AE=FC𝐴𝐸=𝐹𝐶.
  • Tứ giác AECF có cặp cạnh đối  AE𝐴𝐸và  FC𝐹𝐶song song và bằng nhau nên AECF là hình bình hành.