a) Ta có \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) ⇒ \(A H \parallel C K\).
Trong hình bình hành \(A B C D\) có \(A D \parallel B C\) ⇒ \(A C \parallel H K\).
⇒ \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song
→ \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\).
Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên \(I\) cũng là trung điểm của \(A C\).
Trong hình bình hành \(A B C D\), \(A C\) cắt \(B D\) tại trung điểm \(O\),
⇒ \(O I\) là trung bình của tam giác \(A B D\) và \(C B D\).
Suy ra \(I B = I D\).

) Vì \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(A D , B C\) nên
\(E F \parallel A B \parallel D C\) và \(E F = A B = D C\).
⇒ \(E B F D\) có hai cặp cạnh đối song song.
→ \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(O\).
Vì \(E , F\) là trung điểm của \(A D , B C\) nên đường thẳng \(E F\) đi qua \(O\).
→ Ba điểm \(E , O , F\) thẳng hàng.

Vì \(P , Q\) là trung điểm của \(G B , G C\) nên \(P Q \parallel B C\) và \(P Q = \frac{1}{2} B C\).
Vì \(M , N\) là trung điểm của \(A C , A B\) nên \(M N \parallel B C\) và \(M N = \frac{1}{2} B C\).

⇒ \(P Q \parallel M N\) và \(P Q = M N\).
Vậy tứ giác \(P Q M N\) là hình bình hành.

a) Chứng minh hai tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành

Ta có:

• B là trung điểm của AE ⇒ AB = BE và AB ∥ DE (vì cùng song song với AD trong hình bình hành ABCD).
• C là trung điểm của DF ⇒ CD = CF và CD ∥ AF (vì cùng song song với AB).

⇒ Trong tứ giác AEFD:

• AB ∥ DE và AB = DE (do từ hình bình hành ABCD)
• AD ∥ EF và AD = EF

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, trong tứ giác ABFC:

• AB ∥ CF (vì CF ∥ AD ∥ AB)
• AF ∥ BC (vì cùng song song với CD)

⇒ ABFC cũng là hình bình hành.

b) Chứng minh các trung điểm của AF, DE và BC trùng nhau

Gọi I, K, M lần lượt là trung điểm của AF, DE và BC.

Trong hình bình hành ABFC, hai đường chéo AC và BF cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đường chéo.
⇒ I là trung điểm của AF.

Trong hình bình hành AEFD, hai đường chéo AD và EF cắt nhau tại K, trung điểm của mỗi đường chéo.
⇒ K là trung điểm của DE.

Mà I và K đều là trung điểm tương ứng của các cạnh đối trong hai hình bình hành có chung cạnh AD, nên I ≡ K.

Trong hình bình hành ban đầu ABCD, M là trung điểm của BC, mà BC ∥ AF và AF đi qua I.
⇒ I, K, M trùng nhau.

• Hai tứ giác AEFD và ABFC đều là hình bình hành.
• Các trung điểm của ba đoạn AF, DE, BC trùng nhau.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.

a)

Trong hình bình hành ABCD có:

• AB ∥ CD và AD ∥ BC
• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O

Xét hai tam giác OAM và OCN:

• \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (so le trong vì AB ∥ CD)
• \(\frac{O A}{O C} = 1\) (vì O là trung điểm của AC)
• Góc xen giữa bằng nhau

⇒ ΔOAM = ΔOCN (g.g.c)

b)

Vì ΔOAM = ΔOCN nên:

• \(A M = C N\)
• \(O A = O C\)

Mà \(O A = O C\) là hai nửa của đường chéo AC ⇒ AM và CN song song, bằng nhau.
Tương tự, ta chứng minh được \(M B \parallel N D\).

⇒ MBND có hai cặp cạnh đối song song
→ MBND là hình bình hành.

a) Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên:
AE = EB và CF = FD.
Trong hình bình hành ABCD có AB ∥ CD ⇒ AE ∥ CF, EB ∥ FD.
→ AEFD có hai cặp cạnh đối song song ⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, ta có AD ∥ BC và E, F là trung điểm ⇒ AF ∥ EC, AE ∥ CF.
→ AECF có hai cặp cạnh đối song song ⇒ AECF là hình bình hành.

b) Trong hình bình hành AEFD, hai cạnh đối bằng nhau ⇒ EF = AD.
Trong hình bình hành AECF, hai cạnh đối bằng nhau ⇒ AF = EC.