W=Wđ​+Wt​=23​Wt​+Wt​=25​Wt​

\(\Rightarrow W = \frac{5}{2} . m g h\)

\(\Rightarrow m = \frac{2 W}{5 g h} = \frac{2.37 , 5}{5.10.3} = 0 , 5\) kg

Ta có: \(W_{đ} = \frac{3}{2} W_{t} \Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} m g h\)

\(\Rightarrow v = \sqrt{3 g h} = \sqrt{3.10.3} = 9 , 49\) m/s

m = 2 tấn = 2000 kg

\(v_{1}\) = 21,6 km/h = 6 m/s

Gia tốc của xe là: \(a = \frac{v_{1} - v_{0}}{t} = \frac{6 - 0}{15} = 0 , 4\) m/s²

Quãng đường mà xe di chuyển được là: \(s = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} . 0 , 4.1 5^{2} = 45\) m

a. Ma sát giữa bánh xe và đường nhỏ không đáng kể.

Lực kéo của động cơ xe là: \(F_{k} = m a = 2000.0 , 4 = 800\) N

Công mà động cơ thực hiện là: \(A = F_{k} . s = 800.45 = 36000\) J

Công suất của động cơ là: \(P = \frac{A}{t} = \frac{36000}{15} = 2400\) W

b. Ma sát giữa bánh xe và đường là 0,05.

Hợp lực tác dụng lên xe là: \(F_{h l} = m a = 2000.0 , 4 = 800\) N

Lực ma sát: \(F_{m s} = \mu . N = \mu m g = 0 , 05.2000.10 = 1000\) N

Ta có: \(F_{h l} = F_{k} - F_{m s}\)

Vậy lực kéo của động cơ là: \(F_{k} = F_{h l} + F_{m s} = 800 + 1000 = 1800\) N

Công mà động cơ thực hiện là: \(A = F_{k} . s = 1800.45 = 81000\) J

Công suất của động cơ là: \(P = \frac{A}{t} = \frac{81000}{15} = 5400\) W

Ta có: \(\text{v}_{0} = 5.1 0^{5}\) m/s; \(\text{v} = 5 , 4.1 0^{5}\) m/s; \(a = 8.1 0^{4}\) m/s²

Thời gian electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(t = \frac{\text{v} - \text{v}_{0}}{a} = \frac{5 , 4.1 0^{5} - 5.1 0^{5}}{8.1 0^{4}} = 0 , 5 s\)

Quãng đường electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(s = \frac{\text{v}^{2} - \text{v}_{0}^{2}}{2 a} = \frac{\left(\left(\right. 5 , 4.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. 5.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2}}{2.8.1 0^{4}} = 26.1 0^{4} m\)

a. Độ cao của nơi thả viên bi so với mặt đất là:

\(h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} . 9 , 8. 3^{2} = 44 , 1\) m

b. Vận tốc lúc chạm đất là:

\(\text{v} = g t = 9 , 8.3 = 29 , 4\) m/s

c. Quãng đường vật rơi trong 2,5 s đầu là:

\(s_{1} = \frac{1}{2} g t_{1}^{2} = \frac{1}{2} . 9 , 8.2 , 5^{2} = 30 , 625\) m

Quãng đường vật rơi trong 0,5 s cuối là:

\(s = h - s_{1} = 44 , 1 - 30 , 625 = 13 , 475\) m

a) Gọi I là trung điểm \(B C\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = 2 \overset{\rightarrow}{M I}\)
Do đó \(2 \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(2 \overset{\rightarrow}{M A} + 2 \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0}\)
Suy ra \(M\) là trung điểm \(A I\)
b) Gọi \(K , H\) lần lượt là trung điểm của \(A B , C D\) ta có
\(\overset{\rightarrow}{N A} + \overset{\rightarrow}{N B} + \overset{\rightarrow}{N C} + \overset{\rightarrow}{N D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 2 \overset{\rightarrow}{N K} + 2 \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{N K} + \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow N\) là trung điểm của \(K H\)
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B C D\) khi đó ta có \(\overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = 3 \overset{\rightarrow}{P G}\)
Suy ra \(3 \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 3 \overset{\rightarrow}{P A} + 3 \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow P\) là trung điểm \(A G\).

a) Hāy phân tích véctơ \(\overset{\rightarrow}{A G}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(A G \cap B C = M \Rightarrow M\) là trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M}\).
Mà \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A M} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M} = 2 \cdot \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G} = 3 \overset{\rightarrow}{A G} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\)
b) Gọi \(E , F\) là hai điểm xác định bởi các điều kiện: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} , 3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0}\). Hāy phân tích \(\overset{\rightarrow}{E F}\) theo hai vecto \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
Ta có: \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F}\).
Theo gt: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\)
Từ \(3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A F} = \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F} = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\)

Ta có: \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(C A , A B \Rightarrow E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F / / B C\)\(\Rightarrow \frac{I E}{C D} = \frac{A I}{A D} = \frac{I F}{B D} \Rightarrow I F = I E \Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{A I} = \overset{\rightarrow}{A F} + \overset{\rightarrow}{A E} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right)\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C ; D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A A B\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A D} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{3} \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{A F} + 2 \overset{\rightarrow}{A E} \left.\right) = \frac{2}{3} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) .\) \(D E\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow D E = \frac{1}{2} A B = A F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D E} = - \overset{\rightarrow}{A F} = - \overset{⃗}{v}\). \(E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F = C D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F E} = \overset{\rightarrow}{A E} - \overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{u} - \overset{⃗}{v}\).

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{G B} - \overset{\rightarrow}{G A} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a}\).
- Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G C} = - \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G B} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b}\).
- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{B G} + \overset{\rightarrow}{G C} = - \overset{⃗}{b} + \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} \left.\right) = - \overset{⃗}{a} - 2 \overset{⃗}{b}\).
- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{C A} = \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{⃗}{a} - \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} \left.\right) = 2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}\).