a) Tính thời gian

Công thức:

t=v2−v1at=av2​−v1​​

Thay số:

t=5,4×105−5×1058×104=0,4×1058×104=0,5 st=8×1045,4×105−5×105​=8×1040,4×105​=0,5s

b) Tính quãng đường

Công thức chuyển động thẳng biến đổi đều:

s=v1t+12at2s=v1​t+21​at2

Thay số:

s=5×105×0,5+12×8×104×(0,5)2s=5×105×0,5+21​×8×104×(0,5)2s=2,5×105+1×104=2,6×105 ms

a) Độ cao của nơi thả viên bi là:

h=1/2g.t^2

=1/2x9,8m/s^2x(3s)^2=44,1m

b) Vận tốc lúc chạm đất là:

v=g.t=9,8^2x3=29,4m/s

c) Quãng đường vật rơi được trong 0,5s cuối là:

taden h = 44,1m-30,625m=13,475m

Điểm I tồn tại duy nhất và có tọa độ:

\boxed{ \overrightarrow{I} = \frac{\alpha \overrightarrow{A} + \beta \overrightarrow{B}}{\alpha + \beta}. }

Với điểm M bất kỳ:

\boxed{ \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MI}. }

a): M là trung điểm của đoạn thẳng nối A với trung điểm I của đoạn BC.

b): N là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm I của AC và trung điểm J của BD. (Điểm N này còn được gọi là trọng tâm của hệ 4 điểm có khối lượng bằng nhau).

c): P là điểm nằm trên đường thẳng AK sao cho \frac{PA}{PK} = 4 và K nằm giữa P và A, với K là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD.

Điểm M nằm trên đường thẳng AB sao cho M nằm ngoài đoạn AB và \frac{MA}{MB} = \frac{3}{2}. Cụ thể, B nằm giữa A và M.

Kết quả a):

\vec{AD} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF}

Kết quả b):

Độ dài của vectơ là \frac{a\sqrt{3}}{2}.

Cho tam giác ABC. G là trọng tâm. D, E, F là trung điểm BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Đặt \vec{u} = \vec{AE} và \vec{v} = \vec{AF}.

Ta có: \vec{AB} = 2\vec{v} và \vec{AC} = 2\vec{u}.

Phân tích các vectơ theo \vec{u} và \vec{v}:

\vec{AI}: I là trung điểm của AD.

\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}

\vec{AG}: G là trọng tâm.

\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{3}(2\vec{v} + 2\vec{u}) = \frac{2}{3}\vec{u} + \frac{2}{3}\vec{v}

\vec{DE}:

\vec{DE} = -\vec{v}

\vec{DC}:

\vec{DC} = \vec{u} - \vec{v}

a) $\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$.

b) $\vec{EF} = -2\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}$.

Xác định mối quan hệ tỉ lệ: \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} và \vec{AN} = \frac{2}{3} \vec{AC}.

Sử dụng tính chất trung điểm K: \vec{AK} = \frac{1}{2} (\vec{AM} + \vec{AN}).

Thay thế và rút gọn: \vec{AK} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} \right) = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}.

\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}