\(B D , C E\) là trung tuyến ⇒ cắt nhau tại trọng tâm.

\(M , N\) là trung điểm ⇒ \(M N\) là đường trung bình.

Giao điểm \(I , K\) chia \(M N\) thành ba phần bằng nhau theo tính chất trọng tâm.

⇒ \(M I = I K = K N\).

a) Trong tam giác \(G B C\), \(D\) và \(E\) là trung điểm nên \(D E\) là đường trung bình ⇒ \(D E / / B C\).
Mà \(M , N\) là trung điểm của \(A C\) và \(A B\) nên \(M N\) cũng là đường trung bình của tam giác \(A B C\) ⇒ \(M N / / B C\).
Suy ra \(M N / / D E\).

b) Xét tam giác \(G B C\):

• \(N\) là trung điểm \(G B\), \(D\) là trung điểm \(G B\) ⇒ đoạn \(N D\) song song với \(A C\).
• \(M\) là trung điểm \(G C\), \(E\) là trung điểm \(G C\) ⇒ đoạn \(M E\) song song với \(A C\).

Vậy \(N D / / M E\).

a) \(A D\) là trung tuyến ⇒ \(D\) là trung điểm \(B C\).
Có \(A M = \frac{1}{2} M C \Rightarrow A M : M C = 1 : 2\).

Áp dụng định lý

\(\frac{A O}{O D} = \frac{A M}{M C} \cdot \frac{C B}{B D} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\)

⇒ \(A O = O D\). Vậy \(O\) là trung điểm của \(A D\).

b) Trên đoạn \(B M\), từ các tỉ lệ suy ra:

\(B O : O M = 3 : 1 \Rightarrow O M = \frac{1}{4} B M .\)

a) Vì \(I\) là trung điểm \(A M\) nên \(A I = I M\). Xét tam giác \(A M C\), đường thẳng \(B I\) cắt \(A C\) tại \(D\). Theo định lý Ta-lét:

\(\frac{A D}{D C} = \frac{A I}{I M} = \frac{1}{2}\)

⇒ \(A D = \frac{1}{2} D C .\)

b) Từ hệ thức Ta-lét trong tam giác \(A B M\) suy ra:

\(B D = 2 I D \Rightarrow B D > I D .\)