Khi M, N là trung điểm của B E, CB và I , K là giao điểm của MN với hai đường trung tuyến BD, CE , thì đoạn thẳng MN luôn được chia thành ba phần bằng nhau bởi I và K. Điều này có nghĩa là: MI = IK = KN 

a) Trong tam giác  ABC ,M và N  lần lượt là trung điểm của AC và AB (theo giả thiết). Do đó, MN  là đường trung bình của tam giác ABC . Theo tính chất đường trung bình của tam giác, MN //BC và MN=1/2 BC  Trong tam giác  GBC , D  và E  lần lượt là trung điểm của GB và GC  (theo giả thiết). Do đó, DE là đường trung bình của tam giác GBC . Theo tính chất đường trung bình của tam giác, DE//BC  và DE=1/2BC . Vì MN //BC và DE// BC  suy ra MN//DE 

b)Từ phần a), ta có MN//  DE và MN=DE  (cùng bằng 1/2 BC ). Tứ giác MNDE có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau MN//  DE  và MN=DE . Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, MNDE là hình bình hành. Trong hình bình hành MNDE , các cặp cạnh đối còn lại cũng song song với nhau. Do đó, ND// ME 

Gọi E là trung điểm của MC.  Khi đó  ME =EC=MC/2 Theo giả thiết AM =1/2 MC suy ra AM =ME = EC = AC /3 Trong tam giác ABM  , gọi N là trung điểm của AB. Do D là trung điểm người BC, ta có DN là đường trung bình của    Trong tam giác ABC, suy ra DN//AC và DN=1/2 AB  tam giác CDN, ta có M nằm trên AC sao cho MC=2/3 AC   E là trung điểm MC suy ra EC =1/3 AC. Trong tam giác  BEC , ta có D là trung điểm BC, E là trung điểm MC. Kẻ đường thẳng qua E song song với BM cắt BC tại F. Vậy O là trung điểm AD

b) Từ câu a), ta có O là trung điểm của AD. Trong tam giác ADE , M là trung điểm AE, O là trung điểm AD, suy ra MO   là đường trung bình của tam giác ADE . Do MO=1/2DE    Trong tam giác   BCM , D là trung điểm BC, E là trung điểm MC, suy ra DE  là đường trung bình của tam giác BCM . Do đó DE =1/2BM   

MO=1/2DE=1/2×1/2BM =1/4 BM Vậy OM=1/4 BM

a) Trong tam giác ABC,AM là đường trung tuyến I là trung điểm của AM.  Kẻ MK// BC ( K thuộc  AC)  Trong tam giác ADM. MK//ID ( do M//BD). D là trung điểm của AK .Do đó AD=DK  Trong tam giác BCK Ta có M là trung điểm của BC, K thuộc AC vì MK// BD. D là trung điểm của KC .Do đó DK =KC    Từ AD=DK và DK=KC, ta suy ra AD=DK=KC. Ta có DC=DK +KC= AD +AD=2AD. Vậy AD =1/2 DC 

b)