a)
Có: \(A x \bot A C\) (gt)
\(B y \parallel A C \Rightarrow A x \bot B y \Rightarrow \hat{A M B} = 90^{\circ} .\)

Xét hai tam giác \(\triangle M A Q\) và \(\triangle Q B M\) có:

\(\)

\(\Rightarrow \hat{M B Q} = \hat{M A Q}\)

Mà \(\hat{A M B} = 90^{\circ}\) nên

\(\hat{M B Q}=\hat{M A Q}=90^{\circ}\)(HAI GÓC ĐỐI BẰNG NHAU)

Xét tứ giác \(A M R Q\) có:

\(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M R Q} = 90^{\circ}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác \(A M R Q\) là hình chữ nhật.

Suy ra:
Tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b)
Có tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật (cmt).
Mà \(P\) là trung điểm của \(A B\) (gt)

\(\Rightarrow P Q \parallel A B \left(\right. 1 \left.\right)\)

Xét tam giác \(A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow I P \bot A B \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(Q P \bot I P\)

\(\Rightarrow \triangle P Q I\) vuông tại \(P\).

Mặt khác, \(P I\) là trung tuyến trong tam giác vuông \(A I B\)
\(\Rightarrow P I = \frac{1}{2} A B = P Q .\)

Do đó, \(\triangle P I Q\) có \(P I = P Q\)
\(\Rightarrow \triangle P I Q\) cân tại P.

xét tam giác ABC

BM là đường trung tuyến ứng với cách BC

mà BM=1/2AC (GT)suy ra tam giác ABC vuông tại B

xét tứ giác ABCD

góc DAB= góc ABC=góc BCD=góc D=90∘

tứ giác ABCD là hình chữ nhật

xét tam giác ABC

BM là đường trung tuyến ứng với cách BC

mà BM=1/2AC (GT)suy ra tam giác ABC vuông tại B

xét tứ giác ABCD

góc DAB= góc ABC=góc BCD=góc D=90∘

tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Ta có \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên:

\(I A = I C . \left(\right. 1 \left.\right)\)

Lại có \(D\) thuộc tia \(H I\) và \(I H = I D\) nên:

\(I laˋ trung điểm của HD.(2)\)

Từ (1) và (2), ta thấy hai đoạn thẳng \(A C\) và \(H D\) cùng có trung điểm là \(I\).
Khi hai đoạn thẳng có chung trung điểm thì chúng song song và bằng nhau.

Suy ra

AC∥HD vaˋ AC=HD.(3)

Mặt khác, \(A H\) là đường cao của tam giác \(A B C\) nên:

\(A H \bot B C .\)

Vì \(A C\) nằm trên \(B C\) nên ta có:

\(A H \bot A C . \left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ (3) và (4) ta suy ra:

• \(A H \parallel C D\) (vì cùng vuông góc với \(A C\)),
• \(A C \parallel H D\).

Vậy tứ giác \(A H C D\) có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Lại có \(A H \bot A C\) nên hình bình hành này là hình chữ nhật.