a) Tứ giác AMBQ là hình chữ Nhật

+) Vì By // AC nên MB // AQ

+) Vì Ax vuông góc với AC nên góc MAQ = 90 độ

Ta có : MB // AQ và MA // BQ (vì Ax vuông góc với AC và By // AC) suy ra tứ giác AMBQ là hình bình hành

+) vì góc MAQ =90 độ , hình bình hành AMBQ có 1 góc vuông nên AMBQ là hình chữ Nhật

b) +) Trong tam giác ABM , P là trung điểm của AB . Gọi K là giao điểm của MP và BM . Vì AMBQ là Hình chữ Nhật nên AM // BQ .

+) Xét tam giác ABM , ta có : P là trung điểm của AB và PK // AM , suy ra K là trung điểm của BM . MP là đường trung bình của tam giác AMB .

+) Vì AMBQ là hình chữ nhật nên 2 đường chéo AB và MQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . Gọi O là giao điểm của AB và MQ , ta có O là trung điểm của AB và MQ . Mà P là trung điểm của AB , suy ra P trùng với O .

Vậy P là trung điểm của MQ . Xét tam giác vuông AIQ , ta có P là trung điểm của cạnh Huyền MQ , suy ra PI = PQ = 1/2 MQ

Do đó ,tam giác PIQ cân tại P

+) Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC = 1/2 AC

+) BM= 1/2 AC

Suy ra AM = MC = BM

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AC và AM = MC = BM suy ra Tam giác ABC vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh Huyền trông tam giác vuông)

Vậy B = 90 độ

Tứ giác ABCD có góc A = góc C = góc D = 90 độ nên tứ giác ABCD là hình chữ Nhật (DHNB) (đpcm)

Ta có : AI = IC ( vì I là trung điểm của AC)

+) HI = ID (GT)

Xét tứ giác AHCD có 2 đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

suy ra tứ giác AHCD là hình bình hành

+) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên góc AHC=90 độ

Hinh bình hành AHCD có 1 góc vuông là góc AHC nên nó là hình chữ nhật (đpcm)