Chứng minh \(A E F D\) và \(A E C F\) là hình bình hành

• Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):
  \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} , \overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{A E}\) và \(\overset{\rightarrow}{F D}\) có hướng ngược nhau (tức song song) và cùng độ lớn ⇒ \(A E \parallel F D\).
  Ngoài ra
  \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} \left.\right) = \overset{⃗}{d} , \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{d} .\)
  Do đó \(E F \parallel A D\). Khi một cặp cạnh đối diện của tứ giác song song, tứ giác đó là hình bình hành. Suy ra \(A E F D\) là hình bình hành.
• Xét tứ giác \(A E C F\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F\)):
  \(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} , \overset{\rightarrow}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} ,\)
  nên \(A E \parallel C F\). Và
  \(\overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{A} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} , \overset{\rightarrow}{E C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{A} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} ,\)
  nên \(A F \parallel E C\). Vậy \(A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E F = A D , \&\text{nbsp}; A F = E C\)

Từ tính toán trên ta có

\(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{d} = \overset{\rightarrow}{A D} ,\)

tức EF song song và bằng về vectơ với AD ⇒ EF = AD (cùng độ lớn).

Và

\(\overset{\rightarrow}{A F} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} = \overset{\rightarrow}{E C} ,\)

tức hai vectơ bằng nhau ⇒ AF = EC.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A E C F\) là hai hình bình hành. (b) \(E F = A D\) và \(A F = E C\)