a) Chứng minh \(A H C K\) là hình bình hành

• Ta có \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\).
  \(\Rightarrow A H \parallel C K\).
• Trong hình bình hành \(A B C D\): \(A C \parallel B D\).
  Mà \(A H , C K \bot B D \Rightarrow A H , C K \parallel A C\).
• Tương tự, \(H C \parallel A K\).

\(\Rightarrow A H C K\) có 2 cặp cạnh đối song song.
\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(I B = I D\)

• Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).
  Trong hình bình hành: \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).
• Xét hình bình hành \(A H C K\):
  Giao điểm của 2 đường chéo \(A C\) và \(H K\) chính là trung điểm của mỗi đường.
  \(\Rightarrow I\) là trung điểm của \(H K\), đồng thời cũng là trung điểm của \(A C\).
• Nhưng trong hình bình hành \(A B C D\), \(O\) là trung điểm của \(A C\).
  \(\Rightarrow I \equiv O\).
• Do đó, \(I\) chính là trung điểm của \(B D\).
  \(\Rightarrow I B = I D\).
• Vậy:

a) \(A H C K\) là hình bình hành.
b) \(I B = I D\).

a) Chứng minh \(E B F D\) là hình bình hành

• Vì \(E\) là trung điểm \(A D\), \(F\) là trung điểm \(B C\).
• Trong hình bình hành: \(A D \parallel B C\).
  \(\Rightarrow E F \parallel D C\).
• Xét \(E B F D\):
• • \(E\) thuộc cạnh \(A D\), \(F\) thuộc cạnh \(B C\).
  • Ta có \(E F \parallel D B\) (đường trung bình trong tam giác \(A B D\) và tam giác \(C D B\)).

Do đó:

• Trong tứ giác \(E B F D\), ta có: \(E B \parallel D F\) và \(E F \parallel B D\).

\(\Rightarrow E B F D\) là hình bình hành.b) Chứng minh \(E , O , F\) thẳng hàng

• Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C , B D\) của hình bình hành \(\Rightarrow O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).
• Trong tam giác \(A D C\):
• • \(E\) là trung điểm của \(A D\).
  • \(O\) là trung điểm của \(A C\).
    \(\Rightarrow E O\) là đường trung bình của tam giác \(A D C\) \(\Rightarrow E O \parallel D C\).
• Trong tam giác \(A B C\):
• • \(F\) là trung điểm của \(B C\).
  • \(O\) là trung điểm của \(A C\).
    \(\Rightarrow F O\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\) \(\Rightarrow F O \parallel A B\).

Mặt khác, trong hình bình hành \(A B C D\), ta có \(A B \parallel D C\).
\(\Rightarrow E O \parallel D C \parallel A B \parallel F O\).

\(\Rightarrow E , O , F\) thẳng hàng.

vậy:

a) \(E B F D\) là hình bình hành.
b) Ba điểm \(E , O , F\) thẳng hàng.

• Trong tam giác, trọng tâm \(G\) chia mỗi trung tuyến theo tỉ số \(2 : 1\) tính từ đỉnh.
  Nghĩa là: \(B G = 2 G M\), \(C G = 2 G N\).
• \(P\) là trung điểm của \(G B \Rightarrow G P = P B = \frac{1}{2} G B\).
• \(Q\) là trung điểm của \(G C \Rightarrow G Q = Q C = \frac{1}{2} G C\).Xét các vectơ:
• Vì \(M\) là trung điểm \(A C\), ta có \(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{M C} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A C}\).
• Vì \(N\) là trung điểm \(A B\), ta có \(\overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{N B} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\).

Mặt khác:

• Trên trung tuyến \(B M\), ta có \(B G = 2 G M\).
  \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{G B}\).
  Mà \(P\) là trung điểm \(G B \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G P} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{G B}\).
  \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G P} = \overset{\rightarrow}{G M}\).

Tương tự:

• Trên trung tuyến \(C N\), ta có \(C G = 2 G N\).
  \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G Q} = \overset{\rightarrow}{G N}\).
• từ trên
• \(\overset{\rightarrow}{G P} = \overset{\rightarrow}{G M}\).
• \(\overset{\rightarrow}{G Q} = \overset{\rightarrow}{G N}\).

\(\Rightarrow\) Trong tứ giác \(P Q M N\), ta có:

• \(\overset{\rightarrow}{P M} = \overset{\rightarrow}{Q N}\).
  \(\Rightarrow P Q M N\) có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Do đó, \(P Q M N\) là hình bình hành.

Chứng minh \(A E F D , A B F C\) là hình bình hành

• Vì \(B\) là trung điểm của \(A E\) \(\Rightarrow A E = 2 A B\).
• Vì \(C\) là trung điểm của \(D F\) \(\Rightarrow D F = 2 D C\).

Xét tứ giác \(A E F D\):

• Trong hình bình hành: \(A B \parallel D C\).
• Mà \(A E = 2 A B\), \(D F = 2 D C\).
  \(\Rightarrow A E \parallel D F , A E = D F\).

Tương tự, \(A D \parallel E F\).
\(\Rightarrow A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\):

• Ta có \(B\) là trung điểm của \(A E\), \(C\) là trung điểm của \(D F\).
• Mà \(A E \parallel D F\) (chứng minh trên).
  \(\Rightarrow B C \parallel A F\).
• Trong hình bình hành: \(A B \parallel D C\).
  \(\Rightarrow A B \parallel C F\).

\(\Rightarrow A B F C\) có 2 cặp cạnh đối song song.
\(\Rightarrow A B F C\) là hình bình hành.b) Các trung điểm của \(A F , D E , B C\) trùng nhau

Gọi \(M , N , P\) lần lượt là trung điểm của \(A F , D E , B C\).

• Trong tứ giác \(A B F C\) (là hình bình hành):
  Hai đường chéo \(A F\) và \(B C\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  \(\Rightarrow M \equiv P\).
• Trong tứ giác \(A E F D\) (là hình bình hành):
  Hai đường chéo \(D E\) và \(A F\) cắt nhau tại trung điểm.
  \(\Rightarrow M \equiv N\).

\(\Rightarrow M , N , P\) trùng nhau.

Kết luận:

a) \(A E F D , A B F C\) là hình bình hành.
b) Các trung điểm của \(A F , D E , B C\) trùng nhau

• Trong hình bình hành, \(O\) là trung điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).
  \(\Rightarrow O A = O C\).
• Xét hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\):
• • \(O A = O C\) (chứng minh trên).
  • \(\hat{A O M} = \hat{C O N}\) (hai góc đối đỉnh).
  • \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (cùng chắn \(A D \parallel B C\)).

\(\Rightarrow \triangle O A M = \triangle O C N\) (theo trường hợp góc – cạnh – góc).

• Từ \(\triangle O A M = \triangle O C N\) \(\Rightarrow A M = C N\).
• Trong hình bình hành: \(A B \parallel C D\).
• Vậy \(M N \parallel B D\).

Mà \(B D\) là đường chéo nối hai đỉnh \(B , D\).
\(\Rightarrow\) tứ giác \(M B N D\) có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

\(\Rightarrow M B N D\) là hình bình hành.Kết luận:

• \(\triangle O A M = \triangle O C N\).
• \(M B N D\) là hình bình hành.

a) Chứng minh \(A E F D\) và \(A E C F\) là hình bình hành

• Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\), \(F\) là trung điểm của \(C D\).
• Trong hình bình hành: \(A B \parallel C D\).
• Suy ra \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\) (do \(E , F\) là trung điểm).
• Tương tự, \(E F \parallel A D\).

\(\Rightarrow A E F D\) có 2 cặp cạnh đối song song \(\Rightarrow A E F D\) là hình bình hành.

• Tương tự, xét tứ giác \(A E C F\):
• • \(E , F\) là trung điểm, suy ra \(E F \parallel A C\).
  • Ngoài ra, \(A E \parallel C F\).

\(\Rightarrow A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E F = A D , \textrm{ }\textrm{ } A F = E C\)

• Từ (a), \(A E F D\) là hình bình hành \(\Rightarrow E F = A D\).
• Từ (a), \(A E C F\) là hình bình hành
• Vậy \(A E F D , A E C F\) là hình bình hành.
• \(E F = A D , A F = E C\).