Vì khi quả cầu lăn xuống sườn núi, trọng lực có thành phần song song với mặt dốc làm công dương lên quả cầu. Thế năng của quả cầu giảm và chuyển hoá thành động năng, nên tốc độ của quả cầu ngày càng tăng (nếu ma sát không đủ lớn để cản lại).

Cho:
\(m = 800 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } h = 12 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

a) Thang máy đi lên đều

Đi lên đều ⇒ lực kéo bằng trọng lực:

\(F = m g = 800 \cdot 10 = 8000 \textrm{ } \text{N}\)

Công của động cơ:

\(A = F h = 8000 \cdot 12 = 96 \textrm{ } 000 \textrm{ } \text{J}\)

b) Thang máy đi lên nhanh dần đều, \(a = 1 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

Lực kéo của động cơ:

\(F = m \left(\right. g + a \left.\right) = 800 \left(\right. 10 + 1 \left.\right) = 8800 \textrm{ } \text{N}\)

Công của động cơ:

\(A = F h = 8800 \cdot 12 = 105 \textrm{ } 600 \textrm{ } \text{J}\)

Cho:
\(m = 2 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } F = 10 \textrm{ } \text{N} , \textrm{ }\textrm{ } \alpha = 45^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } \mu = 0,2 , \textrm{ }\textrm{ } s = 2 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

a) Công của lực kéo

\(A_{F} = F s cos ⁡ 45^{\circ} = 10 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \sqrt{2} \approx 14,14 \textrm{ } \text{J}\)

b) Hiệu suất

Phản lực:

\(N = m g - F sin ⁡ 45^{\circ} = 20 - 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 12,93 \textrm{ } \text{N}\)

Lực ma sát:

\(F_{m s} = \mu N \approx 0,2 \cdot 12,93 = 2,59 \textrm{ } \text{N}\)

Công của lực ma sát:

\(A_{m s} = - F_{m s} s \approx - 2,59 \cdot 2 = - 5,18 \textrm{ } \text{J}\)

Công có ích (độ tăng động năng):

\(A_{\overset{ˊ}{\imath} \text{ch}} = A_{F} + A_{m s} \approx 14,14 - 5,18 = 8,96 \textrm{ } \text{J}\)

Hiệu suất:

\(H = \frac{A_{\overset{ˊ}{\imath} \text{ch}}}{A_{F}} \approx \frac{8,96}{14,14} \approx 0,63 = 63 \%\)

Cho:
\(m = 200 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } h = 10 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } F_{1} = 1500 \textrm{ } \text{N} , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

Hệ gồm 1 ròng rọc cố định + 1 ròng rọc động ⇒ quãng đường kéo dây:

\(s = 2 h = 20 \textrm{ } \text{m}\)

Công có ích:

\(A_{\overset{ˊ}{\imath} \text{ch}} = m g h = 200 \cdot 10 \cdot 10 = 20 \textrm{ } 000 \textrm{ } \text{J}\)

Công toàn phần của lực kéo:

\(A = F_{1} s = 1500 \cdot 20 = 30 \textrm{ } 000 \textrm{ } \text{J}\)

Hiệu suất:

\(H = \frac{A_{\overset{ˊ}{\imath} \text{ch}}}{A} = \frac{20 \textrm{ } 000}{30 \textrm{ } 000} = \frac{2}{3} \approx 66,7 \%\)

Cơ năng của vật:

\(W = W_{d} + W_{t} = 37,5 \textrm{ } \text{J}\)

Tại độ cao \(h = 3 \textrm{ } \text{m}\):

\(W_{d} = \frac{3}{2} W_{t} \Rightarrow W = \frac{3}{2} W_{t} + W_{t} = \frac{5}{2} W_{t}\) \(\Rightarrow W_{t} = \frac{2}{5} \cdot 37,5 = 15 \textrm{ } \text{J}\)

Thế năng:

\(W_{t} = m g h = m \cdot 10 \cdot 3 = 30 m \Rightarrow m = \frac{15}{30} = 0,5 \textrm{ } \text{kg}\)

Động năng:

\(W_{d} = 37,5 - 15 = 22,5 \textrm{ } \text{J}\)

Vận tốc:

\(W_{d} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow 22,5 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot v^{2} \Rightarrow v^{2} = 90 \Rightarrow v = 3 \sqrt{10} \textrm{ } \text{m}/\text{s}\)

Cho lực kéo \(F = 200 \textrm{ } \text{N}\), quãng đường \(s = 10 \textrm{ } \text{m}\), thời gian \(t = 5 \textrm{ } \text{s}\), góc \(\alpha = 60^{\circ}\).

Công của lực kéo:

\(A = F s cos ⁡ 60^{\circ} = 200 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 1000 \textrm{ } \text{J}\)

Công suất của người đó:

\(P = \frac{A}{t} = \frac{1000}{5} = 200 \textrm{ } \text{W}\)

Cho:
\(m = 0,2 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } H = 10 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\).
Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

a)
Thế năng ban đầu:

\(W_{t} = m g h = 0,2 \cdot 10 \cdot 10 = 20 \textrm{ } \text{J}\)

Khi vật sắp chạm đất:

\(W_{d} = 20 \textrm{ } \text{J}\)

Nhận xét: Thế năng ban đầu bằng động năng lúc sắp chạm đất ⇒ cơ năng được bảo toàn.

b)
Ở độ cao \(h\):

\(W_{t} = m g h = 2 h , W_{d} = 20 - 2 h\)

Điều kiện \(W_{d} = W_{t}\):

\(20 - 2 h = 2 h \Rightarrow h = 5 \textrm{ } \text{m}\)

 Cho:
\(m = 1200 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } h = 10 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

a) Thang máy đi lên đều, \(v = 1 \textrm{ } \text{m}/\text{s}\)

\(F = m g = 1200 \cdot 10 = 12 \textrm{ } 000 \textrm{ } \text{N}\) \(P = F v = 12 \textrm{ } 000 \cdot 1 = 12 \textrm{ } 000 \textrm{ } \text{W}\)

b) Thang máy đi lên nhanh dần đều, \(a = 0,8 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

\(F = m \left(\right. g + a \left.\right) = 1200 \left(\right. 10 + 0,8 \left.\right) = 12 \textrm{ } 960 \textrm{ } \text{N}\) \(A = F h = 12 \textrm{ } 960 \cdot 10 = 129 \textrm{ } 600 \textrm{ } \text{J}\) \(h = \frac{1}{2} a t^{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 h}{a}} = 5 \textrm{ } \text{s}\) \(P_{t b} = \frac{A}{t} = \frac{129 \textrm{ } 600}{5} = 25 \textrm{ } 920 \textrm{ } \text{W}\)

Cho:
\(m = 1,5 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } v_{0} = 2 \textrm{ } \text{m}/\text{s} , \textrm{ }\textrm{ } v = 6 \textrm{ } \text{m}/\text{s} , \textrm{ }\textrm{ } s = 8 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } \alpha = 30^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

Độ cao:

\(h = s sin ⁡ 30^{\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \textrm{ } \text{m}\)

a) Công của trọng lực:

\(A_{P} = m g h = 1,5 \cdot 10 \cdot 4 = 60 \textrm{ } \text{J}\)

Độ biến thiên động năng:

\(\Delta W_{d} = \frac{1}{2} m \left(\right. v^{2} - v_{0}^{2} \left.\right) = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \left(\right. 36 - 4 \left.\right) = 24 \textrm{ } \text{J}\)

b) Công của lực ma sát (định lí công–động năng):

\(A_{P} + A_{m s} = \Delta W_{d} \Rightarrow A_{m s} = 24 - 60 = - 36 \textrm{ } \text{J}\)

Cho:
\(s = 5 \textrm{ } \text{m} , \textrm{ }\textrm{ } m = 300 \textrm{ } \text{kg} , \textrm{ }\textrm{ } F = 1200 \textrm{ } \text{N} , \textrm{ }\textrm{ } H = 80 \% = 0,8 , \textrm{ }\textrm{ } g = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

Công toàn phần:

\(A = F s = 1200 \cdot 5 = 6000 \textrm{ } \text{J}\)

Công có ích:

\(A_{\overset{ˊ}{\imath} \text{ch}} = m g h\)

Hiệu suất:

\(H = \frac{A_{\overset{ˊ}{\imath} \text{ch}}}{A} = \frac{m g h}{F s}\) \(0,8 = \frac{300 \cdot 10 \cdot h}{6000} \Rightarrow h = 1,6 \textrm{ } \text{m}\)