Quả cầu lăn trên sườn núi tốc độ tăng vì thế năng giảm chuyển thành động năng. Khi lăn xuống dốc, độ cao giảm, thế năng giảm, động năng tăng làm tốc độ tăng (nếu bỏ qua ma sát).

Thang máy m = 800 kg lên cao h = 12 m, g = 10 m/s².

a) Thang máy đi lên đều:
F = mg = 800 × 10 = 8000 N
A = F × h = 8000 × 12 = 96 000 J = 96 kJ

b) Thang máy đi lên nhanh dần đều với a = 1 m/s²:
F = m(g + a) = 800 × (10 + 1) = 8800 N
A = F × h = 8800 × 12 = 105 600 J = 105,6 kJ

a) Công của lực kéo:
F_x = 10 × cos45° = 7,07 N
A = F_x × s = 7,07 × 2 = 14,14 J

b) Hiệu suất:
F_y = 10 × sin45° = 7,07 N (hướng lên)
P = mg = 20 N
N = P - F_y = 20 - 7,07 = 12,93 N
F_ms = μ × N = 0,2 × 12,93 = 2,586 N
Công có ích: A_có ích = (F_x - F_ms) × s = (7,07 - 2,586) × 2 = 8,968 J
H = (8,968 / 14,14) × 100% = 63,4%

Kéo vật 200 kg lên cao 10 m dùng hệ ròng rọc cố định và ròng rọc động. Lực kéo dây là 1500 N.

Khi dùng 1 ròng rọc động, ta kéo dây đi đoạn đường gấp đôi độ cao vật lên:
s = 2 × 10 = 20 m.

Công có ích (để nâng vật):
Ai = mgh = 200 × 10 × 10 = 20 000 J.

Công toàn phần (công của lực kéo dây):
Atp = F × s = 1500 × 20 = 30 000 J.

Hiệu suất:
H = Ai / Atp × 100% = 20 000 / 30 000 × 100% ≈ 66,7%.

Vật có cơ năng 37,5 J. Ở độ cao 3 m, động năng bằng 1,5 lần thế năng. Lấy g = 10 m/s².

Ta có:
W = Wđ + Wt = 1,5Wt + Wt = 2,5Wt.
⇒ Wt = 37,5 / 2,5 = 15 J.

Mà Wt = mgh ⇒ 15 = m × 10 × 3 ⇒ m = 15 / 30 = 0,5 kg.

Động năng:
Wđ = 1,5 × 15 = 22,5 J.

Mà Wđ = ½ m v² ⇒ 22,5 = ½ × 0,5 × v²
⇒ v² = 22,5 / 0,25 = 90 ⇒ v ≈ 9,49 m/s.

Người kéo vật 200 N đi được 10 m hết 5 s, lực kéo nghiêng 60° so với phương ngang.

Công của lực kéo:
A = 200 × 10 × cos 60°
cos 60° = 0,5
A = 200 × 10 × 0,5 = 1000 J.

Công suất:
P = A / t = 1000 / 5 = 200 W.

Vật m = 0,2 kg, thả rơi tự do từ độ cao H = 10 m, g = 10 m/s², gốc thế năng tại mặt đất.

a) Thế năng của vật ở độ cao ban đầu

Wₜ = m.g.H = 0,2 . 10 . 10 = 20 J.

b) Động năng của vật lúc sắp chạm đất

Vì vật rơi tự do (không có lực cản), cơ năng được bảo toàn:
Thế năng ban đầu chuyển hóa hoàn toàn thành động năng tại mặt đất.

Vậy:
Wđ = Wₜ = 20 J.

Thang máy khối lượng m = 1200 kg, đi lên cao h = 10 m, g = 10 m/s².

a) Trường hợp chuyển động đều lên với v = 1 m/s

Lực kéo động cơ bằng trọng lực:
F = m.g = 1200 . 10 = 12000 N.

Công suất động cơ:
P = F.v = 12000 . 1 = 12000 W = 12 kW.

b) Trường hợp chuyển động nhanh dần đều lên với a = 0,8 m/s²

Lực kéo động cơ:
F = m.(g + a) = 1200 . (10 + 0,8) = 12960 N.

Thời gian đi hết quãng đường h:
h = ½.a.t² → 10 = ½ . 0,8 . t² → t² = 25 → t = 5 s.

Công động cơ thực hiện:
A = F.h = 12960 . 10 = 129600 J.

Công suất trung bình:
Pₜb = A / t = 129600 / 5 = 25920 W = 25,92 kW.

Khối lượng vật m = 1,5 kg.
Vật trượt từ đỉnh dốc dài L = 8 m, góc nghiêng 30°, vận tốc đầu v₀ = 2 m/s, vận tốc cuối v = 6 m/s, g = 10 m/s².

a) Công của trọng lực

Độ cao của dốc:
h = L.sin30° = 8 . 0,5 = 4 m.

Công của trọng lực:
Aₚ = m.g.h = 1,5 . 10 . 4 = 60 J.

b) Công của lực ma sát

Động năng đầu:
Wđ₁ = ½.m.v₀² = ½ . 1,5 . 2² = 3 J.

Động năng cuối:
Wđ₂ = ½.m.v² = ½ . 1,5 . 36 = 27 J.

Độ biến thiên động năng:
ΔWđ = 27 - 3 = 24 J.

Theo định lý động năng:
Aₚ + Aₘₛ = ΔWđ → Aₘₛ = 24 - 60 = -36 J.

Khối lượng m = 300 kg → P = mg = 300 × 10 = 3000 N. Lực kéo F_k = 1200 N, chiều dài mặt phẳng nghiêng l = 5 m, hiệu suất H = 80% = 0,8. Công toàn phần do lực kéo thực hiện: A_tp = F_k × l = 1200 × 5 = 6000 J Công có ích để nâng vật lên cao h: A_i = P × h = 3000 × h Hiệu suất H = A_i / A_tp 0,8 = (3000 × h) / 6000 0,8 = 0,5 × h h = 0,8 / 0,5 = 1,6 m Vậy chiều cao mặt phẳng nghiêng là 1,6 m.