a) Chứng minh $\triangle CKH \sim \triangle BCA$Đề bài có vẻ có chút nhầm lẫn trong ký hiệu. Thông thường, với hình bình hành $ABCD$, ta sẽ chứng minh $\triangle CKH$ đồng dạng với một tam giác khác. Tuy nhiên, dựa trên các yếu tố đã cho ($\mathrm{CH} \perp \mathrm{AD}$ và $\mathrm{CK} \perp \mathrm{AB}$), ta sẽ chứng minh $\triangle CKH$ đồng dạng với $\triangle CAB$ (hoặc $\triangle ACB$).Đính chính: Ta sẽ chứng minh $\triangle CKB \sim \triangle CHA$ (để có tỉ số), hoặc $\triangle AKC \sim \triangle AHC$. Ở đây, ta sẽ cố gắng chứng minh $\triangle CKH$ đồng dạng với $\triangle CAB$ bằng cách tìm một tam giác trung gian là $\triangle CKA$ và $\triangle CHA$.Ta xét tam giác $\triangle CKA$ và $\triangle CAB$:Xét tứ giác $\mathrm{AKCH}$:Ta có $\mathrm{CH} \perp \mathrm{AD}$ và $\mathrm{CK} \perp \mathrm{AB}$.Do $\mathrm{ABCD}$ là hình bình hành nên $\mathrm{AD} // \mathrm{BC}$.Vì $\mathrm{CH} \perp \mathrm{AD}$, suy ra $\mathrm{CH} \perp \mathrm{BC}$. (Điểm này vô lý, vì $AD//BC$ nên $CH\perp AD$ không suy ra $CH\perp BC$, trừ khi $BC \perp AB$, tức là $ABCD$ là hình chữ nhật).Ta giả sử đề bài yêu cầu chứng minh $\triangle CKH$ đồng dạng với $\triangle CAB$ và $\angle KCH = \angle CAB$.Cách giải hợp lý nhất dựa trên kiến thức phổ thông là sử dụng tứ giác nội tiếp và đồng dạng:Tứ giác $\mathrm{AKCH}$: Tứ giác này có $\angle CKA = 90^\circ$ và $\angle CHA = 90^\circ$.Tổng hai góc đối $\angle CKA + \angle CHA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.$\rightarrow$ Tứ giác $\mathrm{AKCH}$ là tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính $\mathrm{AC}$).Xét $\triangle CKH$ và $\triangle CAB$:Do $\mathrm{AKCH}$ nội tiếp $\implies \angle HKC = \angle HAC$ (cùng chắn cung $\mathrm{HC}$).Mặt khác, $\angle HAC$ chính là $\angle CAD$.Trong hình bình hành $\mathrm{ABCD}$, ta có $\mathrm{AD} // \mathrm{BC}$, suy ra $\angle CAD = \angle ACB$ (hai góc so le trong).Vậy $\angle HKC = \angle ACB$.Tương tự, $\mathrm{AKCH}$ nội tiếp $\implies \angle CHK = \angle CAK$ (cùng chắn cung $\mathrm{CK}$).Mặt khác, $\angle CAK$ chính là $\angle CAB$.Vậy $\angle CHK = \angle CAB$.Kết luận:$\angle HKC = \angle BCA$ (Chứng minh trên)$\angle CHK = \angle CAB$ (Chứng minh trên)$\rightarrow \triangle CKH \sim \triangle BCA$ (g.g).b) Chứng minh $HK = AC \cdot \sin \widehat{BAD}$Từ kết quả đồng dạng ở câu a): $\triangle CKH \sim \triangle BCA$.Ta suy ra tỉ số đồng dạng:$$\frac{HK}{BA} = \frac{CK}{BC} = \frac{CH}{CA}$$Từ tỉ số thứ nhất:$$HK = BA \cdot \frac{CH}{CA}$$Trong tam giác vuông $\triangle CHA$ ($\angle H = 90^\circ$):$$\sin \widehat{CAD} = \frac{\text{Đối}}{\text{Huyền}} = \frac{CH}{CA} \implies CH = AC \cdot \sin \widehat{CAD}$$Thay biểu thức của $CH$ vào phương trình $HK$:$$HK = BA \cdot \frac{AC \cdot \sin \widehat{CAD}}{CA}$$$$HK = BA \cdot \sin \widehat{CAD}$$Vì $\mathrm{ABCD}$ là hình bình hành:$BA = DC$$AD = BC$$AB // DC$ và $AD // BC$.Ta có $\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$ (hai góc kề cạnh bên), và $\angle BAD = \angle BCD$ (hai góc đối).Do $\mathrm{AD} // \mathrm{BC}$, nên $\angle CAD$ không liên quan trực tiếp đến $\angle BAD$.Ta cần tìm mối liên hệ giữa $HK$ và $\sin \widehat{BAD}$.Xét lại tỉ số đồng dạng:$$\frac{HK}{AB} = \frac{CK}{BC} \implies HK = AB \cdot \frac{CK}{BC}$$Trong tam giác vuông $\triangle CKA$ ($\angle K = 90^\circ$):$$\sin \widehat{CAD} = \sin \widehat{DAB} \text{ (Sai)}$$$$\sin \widehat{CAB} = \frac{CK}{AC} \implies CK = AC \cdot \sin \widehat{CAB}$$Ta sử dụng định lí sin cho tam giác $CKH$ và $BCA$:Áp dụng định lý sin trong $\triangle CKH$:$$\frac{HK}{\sin \angle KCH} = \frac{CK}{\sin \angle CHK} = \frac{CH}{\sin \angle CKH}$$Từ câu a), ta có: $\angle CHK = \angle CAB$ và $\angle HKC = \angle ACB$.Do $\mathrm{AD} // \mathrm{BC} \implies \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$.Ta quay lại công thức $HK = BA \cdot \sin \widehat{CAD}$ và cố gắng biểu diễn $\sin \widehat{CAD}$ qua $\sin \widehat{BAD}$.$$\angle CAD = \angle ACB$$Xét $\triangle ABC$ (Theo định lý sin):$$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$$$$\sin \angle ACB = \frac{AB \cdot \sin \angle ABC}{AC}$$Ta có: $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD$.$$\sin \angle ABC = \sin (180^\circ - \angle BAD) = \sin \angle BAD$$$$\sin \angle ACB = \frac{AB \cdot \sin \angle BAD}{AC}$$Thay $\sin \angle ACB = \sin \angle CAD$ vào $HK = BA \cdot \sin \widehat{CAD}$:$$HK = BA \cdot \sin \widehat{CAD}$$$$HK = AB \cdot \left( \frac{AB \cdot \sin \widehat{BAD}}{AC} \right)$$$$HK = \frac{AB^2}{AC} \cdot \sin \widehat{BAD}$$Kết quả này không khớp với đáp án $HK = AC \cdot \sin \widehat{BAD}$.Kiểm tra lại công thức $HK$ từ tỉ số đồng dạng:$$HK = BA \cdot \frac{CH}{CA}$$Ta dùng tỉ số thứ hai:$$\frac{HK}{BA} = \frac{CK}{BC} \implies HK = \frac{BA}{BC} \cdot CK$$Trong tam giác vuông $\triangle CKA$: $CK = AC \cdot \sin \angle CAB$.$$HK = \frac{AB}{BC} \cdot AC \cdot \sin \angle CAB$$Để có được đáp án $HK = AC \cdot \sin \widehat{BAD}$, ta cần điều kiện sau:$$\frac{AB}{BC} \cdot \sin \angle CAB = \sin \widehat{BAD}$$Theo định lý sin trong $\triangle ABC$:$$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle CAB} \implies \frac{AB}{BC} = \frac{\sin \angle ACB}{\sin \angle CAB}$$Thay vào biểu thức trên:$$\frac{\sin \angle ACB}{\sin \angle CAB} \cdot \sin \angle CAB = \sin \angle ACB$$Do đó, ta phải có $\sin \angle ACB = \sin \widehat{BAD}$.Vì $\mathrm{AD} // \mathrm{BC} \implies \angle ACB = \angle CAD$.Vậy, ta cần $\sin \angle CAD = \sin \widehat{BAD}$. Điều này chỉ xảy ra khi $\angle CAD = \angle BAD$ (tức là $AC$ là phân giác của $\angle DAB$, hay $ABCD$ là hình thoi) hoặc $\angle CAD + \angle BAD = 180^\circ$ (Vô lý).Kết luận: Có khả năng đề bài bị sai và phải là:$$\frac{HK}{AB} = \frac{CH}{AC} \implies HK = AB \cdot \frac{CH}{AC}$$$$HK = AB \cdot \sin \angle CAD$$Hoặc đề bài yêu cầu: $HK = AC \cdot \sin \angle KCH$.Tuy nhiên, nếu phải chọn đáp án đúng theo yêu cầu $HK = AC \cdot \sin \widehat{BAD}$, ta cần chứng minh một cách khác:Ta sẽ sử dụng $\angle KCH = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle BAD$ (do $\mathrm{AKCH}$ nội tiếp đường tròn $\mathrm{AC}$, và $\angle K + \angle H = 180^\circ$ là sai)Tứ giác $\mathrm{AKCH}$ nội tiếp đường tròn đường kính $\mathrm{AC}$.$\angle KCH = 360^\circ - (\angle AKC + \angle CHA + \angle KAH)$$\angle KAH$ là góc $\angle DAB$ của hình bình hành.$\angle KCH = 180^\circ - \angle KAH = 180^\circ - \angle BAD$ (góc đối diện của tứ giác nội tiếp $\mathrm{AKCH}$ là $\angle KAH$ và $\angle KCH$). (Đúng)Áp dụng định lý hàm cosin cho $\triangle HKC$:$$HK^2 = CH^2 + CK^2 - 2 \cdot CH \cdot CK \cdot \cos \angle KCH$$$$HK^2 = CH^2 + CK^2 - 2 \cdot CH \cdot CK \cdot \cos(180^\circ - \angle BAD)$$$$HK^2 = CH^2 + CK^2 + 2 \cdot CH \cdot CK \cdot \cos \angle BAD$$Sử dụng công thức diện tích:Diện tích $\triangle AKC$: $S_{AKC} = \frac{1}{2} AK \cdot CK$Diện tích $\triangle AHC$: $S_{AHC} = \frac{1}{2} AH \cdot CH$Áp dụng định lý Sin cho $\triangle HKC$ (với $R = AC/2$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $AKCH$):$$\frac{HK}{\sin \angle KCH} = 2R = AC$$$$HK = AC \cdot \sin \angle KCH$$Vì $\mathrm{AKCH}$ là tứ giác nội tiếp, $\angle KCH$ và $\angle KAH$ là hai góc đối diện, nên:$$\angle KCH + \angle KAH = 180^\circ$$$$\angle KCH = 180^\circ - \angle KAH = 180^\circ - \angle BAD$$Do $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, ta có:$$\sin \angle KCH = \sin (180^\circ - \angle BAD) = \sin \angle BAD$$Thay vào công thức trên:$$HK = AC \cdot \sin \angle BAD$$$\rightarrow$ Ta đã chứng minh được $HK = AC \cdot \sin \widehat{BAD}$.