MNPQ

a)Xét hai tam giác \(\triangle A B D\) và \(\triangle A C D\) có cạnh chung \(A D\).

• \(M\) là trung điểm của \(A B\),
• \(N\) là trung điểm của \(C D\).

ta có:

\(M N \parallel B C\)

Nhưng vì \(A D \bot A C\), mà trong tứ giác \(A B C D\) thì \(B C \bot A C\) (do \(B C\) song song hoặc vuông với \(A D\) tùy vị trí, song ở đây ta xét \(A D \bot A C\)).

→ Suy ra:

\(M N \parallel B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} B C \bot A C\)

nên

\(M N \bot A C .\)

Tứ giác AMCN là hình chữ nhật

AB=BC=CD=DA

Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm \(O\).
 ⇒ \(A C \bot B D\) và \(A O = C O\).

Ta có \(B E = D F\).
Mà hai cạnh \(B C\) và \(C D\) đối xứng nhau qua đường chéo \(B D\),
nên hai điểm \(E\) và \(F\) cũng đối xứng nhau qua đường chéo \(B D\).

Vì \(E\) và \(F\) đối xứng nhau qua \(B D\)
 ⇒ Hai đường thẳng \(A E\) và \(A F\) cũng đối xứng nhau qua \(B D\).
Do đó, hai điểm \(G\) và \(H\) (lần lượt là giao điểm của \(A E , A F\) với \(B D\)) cũng đối xứng nhau qua \(B D\).

Vì \(G , H\) đối xứng nhau qua \(B D\) nên:
 \(O\) (trung điểm của \(B D\)) cũng là trung điểm của \(G H\).

\(O\) là trung điểm của \(A C\).
 \(A C \bot B D\), mà \(G H\) nằm đối xứng qua \(B D\), nên \(A C \bot G H\).

Hai đường chéo \(A C\) và \(G H\)

Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tại \(O\))

Vuông góc với nhau.

⇒ Tứ giác \(A G C H\) là hình thoi.