ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo \(\mathit{A} \mathit{C} , \mathit{B} \mathit{D}\) cắt nhau tại \(\mathit{O}\) là trung điểm của mỗi đường.

Xét \(\Delta \mathit{O} \mathit{B} \mathit{M}\) và \(\Delta \mathit{O} \mathit{D} \mathit{P}\) có:

     \(\mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{D}\) ( giả thiết)

     \(\hat{\mathit{O} \mathit{B} \mathit{M}} = \hat{\mathit{O} \mathit{D} \mathit{P}}\) (so le trong)

     \(\hat{\mathit{B} \mathit{O} \mathit{M}} = \hat{\mathit{D} \mathit{O} \mathit{P}}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta \mathit{O} \mathit{B} \mathit{M} = \Delta \mathit{O} \mathit{D} \mathit{P}\) (g.c.g)

Suy ra \(\mathit{O} \mathit{M} = \mathit{O} \mathit{P}\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\Delta \mathit{O} \mathit{A} \mathit{Q} = \Delta \mathit{O} \mathit{C} \mathit{N}\) (g.c.g) suy ra \(\mathit{O} \mathit{Q} = \mathit{O} \mathit{N}\) (hai cạnh tương ứng)

\(\mathit{M} \mathit{N} \mathit{P} \mathit{Q}\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành \(\mathit{M} \mathit{N} \mathit{P} \mathit{Q}\) có hai đường chéo \(\mathit{M} \mathit{P} ⊥ \mathit{N} \mathit{Q}\) nên là hình thoi.

Ta có: AM = DN và AM // DN

=> AMND là hình bình hành

Lại có \(\Delta \mathit{A} \mathit{D} \mathit{C}\) vuông tại \(\mathit{A}\) có \(\mathit{A} \mathit{N}\) là đường trung tuyến nên \(\mathit{A} \mathit{N} = \frac{1}{2} \mathit{D} \mathit{C} = \mathit{D} \mathit{N} = \mathit{C} \mathit{N}\).

Hình bình hành \(\mathit{A} \mathit{M} \mathit{C} \mathit{N}\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(\mathit{A} \mathit{C} , \mathit{M} \mathit{N}\) vuông góc với nhau.

Tứ giác \(\mathit{A} \mathit{M} \mathit{C} \mathit{N}\) là hình thoi.

Ta có ABCD là hình thoi nên AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC

Suy ra GA=GC,HA=HC (1)(1)

Và AC là trung trực của BD suy ra AG=AH,CG=CH (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) suy ra AG=GC=CH=HA nên AGCH là hình thoi.