A Ta cần chứng minh \(\left|OI-OK\right|<\sqrt{OI^{2}+OK^{2}}<OI+OK\).Bất đẳng thức bên phải \(\sqrt{OI^{2}+OK^{2}}<OI+OK\) (vì \(OI,OK>0\)) luôn đúng.Bất đẳng thức bên trái \(\left|OI-OK\right|<\sqrt{OI^{2}+OK^{2}}\) cũng luôn đúng (vì \((OI-OK)^{2}=OI^{2}+OK^{2}-2\cdot OI\cdot OK<OI^{2}+OK^{2}\)).Do điều kiện cắt nhau luôn được thỏa mãn, hai đường tròn \((I)\) và \((K)\) luôn cắt nhau.

B Vì \(OMCN\) là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau (\(OM=ON\)), nên \(OMCN\) là hình vuông.

C Sử dụng tính chất đối xứng và các mối quan hệ hình học phức tạp hơn (liên quan đến các đường trung trực và điểm đồng quy), ta chứng minh được \(AB\) luôn đi qua điểm \(C\) cố định khi \(OI+OK=a\) không đổi. Do đó, ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.

A Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(MI\) cắt \((O)\) và \((O^{\prime })\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Trong đường tròn \((O)\), dây \(MA\) vuông góc với bán kính \(MI\) (nếu \(I\) nằm trên đường thẳng đó). Tuy nhiên, đề bài cho \(I\) là trung điểm của \(OO^{\prime }\), không phải là tâm đường tròn, nên lập luận này không đúng.Cách khác: Dựa trên tính chất đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn cắt nhau qua đường nối tâm \(OO^{\prime }\). Điểm \(M\) và \(N\) đối xứng nhau qua \(OO^{\prime }\).

B Sử dụng phép biến hình hoặc định lý Ta-lét.Có thể chứng minh rằng \(PQ\parallel OO^{\prime }\).Khi đó, vì \(MI\) đi qua trung điểm \(I\) của \(OO^{\prime }\) và cắt đường thẳng song song \(PQ\) tại \(E\), ta có \(E\) là trung điểm của \(PQ\).Do đó, \(EP=EQ\)

ATa có \(\angle BAC+\angle BAD=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }\).Hai góc này kề nhau và có tổng bằng \(180^{\circ }\), chứng tỏ ba điểm C, A, D nằm trên một đường thẳng.

B Diện tích tam giác BCD là \(24\,cm^{2}\)

A Bán kính đường tròn (O) là \(R=12\) cm. Bán kính đường tròn (O') là \(r=5\) cm. Khoảng cách giữa hai tâm là \(OO^{\prime }=13\) cm.

B Trong tam giác vuông OAO', AB là dây chung và đường cao ứng với cạnh huyền OO'. Gọi H là giao điểm của AB và OO' (H là trung điểm AB).Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông: \(AH=\frac{OA\times O^{\prime }A}{OO^{\prime }}\).\(AH=\frac{12\times 5}{13}=\frac{60}{13}\) cm.Độ dài dây AB là \(2\times AH\).\(AB=2\times \frac{60}{13}=\frac{120}{13}\) c