https://www.youtube.com/watch?v=fvBBwFhfMSY&list=RDfvBBwFhfMSY&start_radio=1

a. Gọi \(O I = a , \textrm{ }\textrm{ } O K = b\). Ta có \(I K = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), \(r_{\left(\right. I \left.\right)} = b , \textrm{ }\textrm{ } r_{\left(\right. K \left.\right)} = a\). Rõ ràng \(\mid a - b \mid < \sqrt{a^{2} + b^{2}} < a + b\). Vậy \(\left(\right. I \left.\right)\) và \(\left(\right. K \left.\right)\) cắt nhau (hai điểm phân biệt).

b. Lấy hệ trục với \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } I \left(\right. a , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } K \left(\right. 0 , b \left.\right)\). Khi đó
\(M = \left(\right. a + b , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } N = \left(\right. 0 , a + b \left.\right)\). Tiếp tuyến tại \(M\) là \(x = a + b\), tại \(N\) là \(y = a + b\). Do đó \(C = \left(\right. a + b , a + b \left.\right)\). Vì
\(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } M \left(\right. a + b , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. a + b , a + b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } N \left(\right. 0 , a + b \left.\right)\) nên \(O M C N\) là hình vuông cạnh \(a + b\).

c. Phương trình đường thẳng chứa giao điểm hai đường tròn là

\(b \textrm{ } y - a \textrm{ } x = b^{2} - a^{2} .\)

Thay \(C \left(\right. a + b , a + b \left.\right)\) ta có \(b \left(\right. a + b \left.\right) - a \left(\right. a + b \left.\right) = b^{2} - a^{2}\), nên \(C\) thuộc đường thẳng này. Do đó \(A , B , C\) thẳng hàng.

d. Nếu \(O I + O K = s\) không đổi thì với \(a = O I , \textrm{ }\textrm{ } b = O K\) ta có \(a + b = s\) và phương trình đường thẳng AB trở thành

\(b \left(\right. y - s \left.\right) = a \left(\right. x - s \left.\right) .\)

Điểm chung của tất cả các đường này (với mọi \(a , b\) thỏa \(a + b = s\)) là \(x = y = s\). Vậy đoạn \(A B\) luôn đi qua điểm cố định \(C \left(\right. s , s \left.\right)\), tức điểm có toạ độ \(\left(\right. s , s \left.\right)\) — chính là giao của hai tiếp tuyến tìm được ở phần (b).

a) Gọi \(l\) là đường thẳng qua \(M\) vuông góc \(M I\), \(l\) cắt \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\) (khác \(M\)) và cắt \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tại \(B\) (khác \(M\)). Vì \(l\) đi qua \(M\) nên \(A , M , B\) thẳng hàng. Xét hai tam giác \(\triangle I M A\) và \(\triangle I M B\): cả hai đều có cạnh chung \(I M\) và góc tại \(M\) bằng nhau (bằng \(90^{\circ}\) vì \(l \bot I M\)). Ngoài ra \(I A\) và \(I B\) là hai khoảng cách từ cùng một điểm \(I\) tới hai điểm trên hai đường tròn sao cho hai tam giác tương ứng đối xứng qua \(I M\); do đó \(M A = M B\). Vậy \(M\) là trung điểm của \(A B\).

b) Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua \(A\) vuông góc \(A B\) với \(\left(\right. O \left.\right)\), \(Q\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua \(B\) vuông góc \(A B\) với \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\). Gọi \(E = M I \cap P Q\). Phép đối xứng qua đường thẳng \(I M\) đổi \(A \leftrightarrow B\) và đồng thời đổi \(P \leftrightarrow Q\); vì \(E\) nằm trên trục đối xứng \(I M\) nên là hình ảnh chính nó; do đó \(E\) là trung điểm của đoạn \(P Q\), tức \(E P = E Q\).

c) Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng qua \(A\) vuông góc \(A B\) với \(O O^{'}\) và \(K\) là giao điểm của đường thẳng qua \(B\) vuông góc \(A B\) với \(O O^{'}\). Phép đối xứng qua \(I M\) đổi \(H \leftrightarrow K\) và giữ \(I\) cố định (vì \(I\) là trung điểm của \(O O^{'}\) và \(I M\) là trục đối xứng), nên \(I H = I K\).

a) Chứng minh ba điểm \(C , A , D\) thẳng hàng

Ta có:

• \(B O C\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) ⇒ \(B , O , C\) thẳng hàng và \(O C = O B = R\).
• \(B O^{'} D\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) ⇒ \(B , O^{'} , D\) thẳng hàng và \(O^{'} D = O^{'} B = R^{'}\).

Gọi \(A , B\) là hai giao điểm của hai đường tròn.

Trong đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\):

• \(O A = O B\) (đều là bán kính)
• \(O C\) kéo dài qua \(O\)

Suy ra: \(O A\) vuông góc \(A B\) vì đường kính luôn vuông góc với dây.

Tương tự, trong đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\):

• \(O^{'} A = O^{'} B\)
• \(O^{'} D\) kéo dài qua \(O^{'}\)

Suy ra: \(O^{'} A \bot A B\).

Vậy cả hai đường \(O A\) và \(O^{'} A\) đều vuông góc với \(A B\), do đó chúng nằm trên cùng một đường thẳng, gọi là đường cao chung qua \(A\).

Như vậy, điểm \(A\) nằm trên cả hai đường thẳng \(O C\) và \(O^{'} D\).

→ Ba điểm \(C , A , D\) thẳng hàng.

b) Tính diện tích tam giác \(B C D\)

Ta biết:

\(OO^{^{\prime}}=5\text{ cm},OB=4\text{ cm},O^{^{\prime}}B=3\text{ cm}\)

Vì:

• \(B O C\) là đường kính → \(O C = O B = 4\)
• \(B O^{'} D\) là đường kính → \(O^{'} D = O^{'} B = 3\)

Vậy:

• \(B C = B O + O C = 4 + 4 = 8\) (vì \(B , O , C\) thẳng hàng và \(O\) nằm giữa)
• \(B D = B O^{'} + O^{'} D = 3 + 3 = 6\) (vì \(B , O^{'} , D\) thẳng hàng)

Góc ở \(B\) là góc giữa hai bán kính nối hai đường tròn.

Xét tam giác \(B O O^{'}\):

\(O B = 4 , O^{'} B = 3 , O O^{'} = 5\)

Ta thấy ngay:

\(4^{2} + 3^{2} = 5^{2}\)

⇒ Tam giác \(B O O^{'}\) vuông tại \(B\).

Do đó:

\(\angle O B O^{'} = 90^{\circ}\)

Vì \(B C\) cùng phương với \(B O\), còn \(B D\) cùng phương với \(B O^{'}\),

⇒ \(\angle C B D = 90^{\circ}\).

Vậy tam giác \(B C D\) vuông tại \(B\).

Diện tích:

\(S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24\text{ cm}^2\)

Kết luận

• a) Ba điểm \(C , A , D\) thẳng hàng.
• b) Diện tích tam giác \(B C D\) bằng \(24\text{ cm}^2\).

a) Chứng minh hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Hai đường tròn có bán kính:

• \(R=12\text{ cm}\)
• \(R^{^{\prime}}=5\text{ cm}\)

Khoảng cách tâm:

\(OO^{^{\prime}}=13\text{ cm}\)

Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là:

\(\mid R - R^{'} \mid < O O^{'} < R + R^{'}\)

Ta có:

\(\mid 12 - 5 \mid = 7 < 13 < 17 = 12 + 5\)

Điều kiện thỏa mãn nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Chứng minh \(O A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) và \(O^{'} A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\)

Gọi \(A , B\) là hai giao điểm của hai đường tròn.

Vì \(A\) nằm trên cả hai đường tròn nên:

\(A O = 12 , A O^{'} = 5\)

Xét tam giác \(O O^{'} A\):

Theo định lý Pythagore:

\(O O^{' 2} = A O^{2} + A O^{' 2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169\) \(O O^{'} = 13\)

Hệ thức Pythagore đúng ⇒ tam giác \(O O^{'} A\) vuông tại \(A\).

Vậy:

\(\angle O A O^{'} = 90^{\circ}\)

Do đó:

• \(O A \bot O^{'} A\) nên OA là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\).
• \(O^{'} A \bot O A\) nên O'A là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

Tính độ dài \(A B\)

Trong tam giác \(O O^{'} A\) vuông tại \(A\):

• \(A O = 12\)
• \(A O^{'} = 5\)
• \(O O^{'} = 13\)

Đường kính chung \(A B\) là dây chung của hai đường tròn.
Khoảng cách từ \(A\) đến tâm \(O O^{'}\) là chiều cao trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông \(O O^{'} A\):

\(A B = \frac{2 \cdot A O \cdot A O^{'}}{O O^{'}} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13}\)

Vậy:

\(\boxed{AB=\frac{120}{13}\text{ cm}}\)