a, Bán kính các đường tròn là:

• Đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\): \(r_{I} = O K\)
• Đường tròn \(\left(\right. K \left.\right)\): \(r_{K} = O I\)

Khoảng cách tâm:

\(I K = O I + O K = r_{K} + r_{I} .\)

Điều kiện hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

\(I K = r_{I} + r_{K} .\)

Vì đẳng thức xảy ra, hai đường tròn luôn tiếp xúc ngoài, do đó luôn có chung một điểm ⇒ luôn cắt nhau.

b,

• M nằm trên tia \(O x\), và \(\left(\right. I \left.\right)\) có tâm \(I\) trên \(O x\) ⇒ bán kính \(I M\) vuông góc tiếp tuyến tại \(M\).
• \(I M\) nằm trên tia \(O x\) ⇒ tiếp tuyến tại \(M\) vuông góc với \(O x\).

Tương tự:

• Tiếp tuyến tại \(N\) của \(\left(\right. K \left.\right)\) vuông góc với \(O y\).

Vậy:

• \(M C \bot O x\)
• \(N C \bot O y\)

Do đó:

• \(O M \parallel O x\) vuông góc \(M C\)
• \(O N \parallel O y\) vuông góc \(N C\)
• Hai đường thẳng qua \(C\) vuông góc tương ứng tạo thành hình vuông.

Ta có:

\(O M = O I + I M = O I + O K = O N\)

⇒ bốn cạnh bằng nhau và vuông góc → \(O M C N\) là hình vuông.

c,Tâm \(I\) thuộc \(O x\), tâm \(K\) thuộc \(O y\).

Đường thẳng \(M C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. I \left.\right)\) tại \(M\).
Ta có:

\(\angle I M C = 90^{\circ} .\)

Tương tự tại \(N\):

\(\angle K N C = 90^{\circ} .\)

Mà \(O M C N\) là hình vuông nên:

\(M C \parallel O N , N C \parallel O M .\)

Suy ra \(C\) nằm trên trục đẳng giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng nối tâm đến các giao điểm \(A , B\).

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài, đường qua điểm tiếp xúc và đi qua giao điểm thứ hai của hai đường tròn (trục căn bậc hai) luôn là đường thẳng chứa các giao điểm A, B và điểm tiếp xúc.

Điểm tiếp xúc chính là \(C\).

⇒ A, B, C thẳng hàng.

d, Ta có:

\(O I + O K = a \left(\right. \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \left.\right)\)

Trong hình vuông \(O M C N\):

\(O M = O N = O I + O K = a .\)

Vậy khi \(I\) và \(K\) di chuyển, \(M\) và \(N\) luôn chạy trên hai tia \(O x\) và \(O y\) sao cho:

\(O M = O N = a .\)

Do đó:

• \(M\) luôn thuộc hình tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O x\).
• \(N\) luôn thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O y\).
• Điểm \(C\), là đỉnh hình vuông \(O M C N\), luôn là đỉnh thứ tư của hình vuông cạnh \(a\) dựng trên hai tia vuông góc.

Vị trí của \(C\) không đổi:

\(C \equiv \left(\right. a , a \left.\right)\)

(tính theo hệ trục \(O x , O y\)).

Từ phần (c): A, B, C thẳng hàng.

Vì \(C\) cố định nên:

Đường thẳng \(A B\) luôn đi qua điểm cố định \(C\).

a, Bán kính các đường tròn là:

• Đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\): \(r_{I} = O K\)
• Đường tròn \(\left(\right. K \left.\right)\): \(r_{K} = O I\)

Khoảng cách tâm:

\(I K = O I + O K = r_{K} + r_{I} .\)

Điều kiện hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

\(I K = r_{I} + r_{K} .\)

Vì đẳng thức xảy ra, hai đường tròn luôn tiếp xúc ngoài, do đó luôn có chung một điểm ⇒ luôn cắt nhau.

b,

• M nằm trên tia \(O x\), và \(\left(\right. I \left.\right)\) có tâm \(I\) trên \(O x\) ⇒ bán kính \(I M\) vuông góc tiếp tuyến tại \(M\).
• \(I M\) nằm trên tia \(O x\) ⇒ tiếp tuyến tại \(M\) vuông góc với \(O x\).

Tương tự:

• Tiếp tuyến tại \(N\) của \(\left(\right. K \left.\right)\) vuông góc với \(O y\).

Vậy:

• \(M C \bot O x\)
• \(N C \bot O y\)

Do đó:

• \(O M \parallel O x\) vuông góc \(M C\)
• \(O N \parallel O y\) vuông góc \(N C\)
• Hai đường thẳng qua \(C\) vuông góc tương ứng tạo thành hình vuông.

Ta có:

\(O M = O I + I M = O I + O K = O N\)

⇒ bốn cạnh bằng nhau và vuông góc → \(O M C N\) là hình vuông.

c,Tâm \(I\) thuộc \(O x\), tâm \(K\) thuộc \(O y\).

Đường thẳng \(M C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. I \left.\right)\) tại \(M\).
Ta có:

\(\angle I M C = 90^{\circ} .\)

Tương tự tại \(N\):

\(\angle K N C = 90^{\circ} .\)

Mà \(O M C N\) là hình vuông nên:

\(M C \parallel O N , N C \parallel O M .\)

Suy ra \(C\) nằm trên trục đẳng giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng nối tâm đến các giao điểm \(A , B\).

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài, đường qua điểm tiếp xúc và đi qua giao điểm thứ hai của hai đường tròn (trục căn bậc hai) luôn là đường thẳng chứa các giao điểm A, B và điểm tiếp xúc.

Điểm tiếp xúc chính là \(C\).

⇒ A, B, C thẳng hàng.

d, Ta có:

\(O I + O K = a \left(\right. \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \left.\right)\)

Trong hình vuông \(O M C N\):

\(O M = O N = O I + O K = a .\)

Vậy khi \(I\) và \(K\) di chuyển, \(M\) và \(N\) luôn chạy trên hai tia \(O x\) và \(O y\) sao cho:

\(O M = O N = a .\)

Do đó:

• \(M\) luôn thuộc hình tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O x\).
• \(N\) luôn thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O y\).
• Điểm \(C\), là đỉnh hình vuông \(O M C N\), luôn là đỉnh thứ tư của hình vuông cạnh \(a\) dựng trên hai tia vuông góc.

Vị trí của \(C\) không đổi:

\(C \equiv \left(\right. a , a \left.\right)\)

(tính theo hệ trục \(O x , O y\)).

Từ phần (c): A, B, C thẳng hàng.

Vì \(C\) cố định nên:

Đường thẳng \(A B\) luôn đi qua điểm cố định \(C\).

a, Bán kính các đường tròn là:

• Đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\): \(r_{I} = O K\)
• Đường tròn \(\left(\right. K \left.\right)\): \(r_{K} = O I\)

Khoảng cách tâm:

\(I K = O I + O K = r_{K} + r_{I} .\)

Điều kiện hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

\(I K = r_{I} + r_{K} .\)

Vì đẳng thức xảy ra, hai đường tròn luôn tiếp xúc ngoài, do đó luôn có chung một điểm ⇒ luôn cắt nhau.

b,

• M nằm trên tia \(O x\), và \(\left(\right. I \left.\right)\) có tâm \(I\) trên \(O x\) ⇒ bán kính \(I M\) vuông góc tiếp tuyến tại \(M\).
• \(I M\) nằm trên tia \(O x\) ⇒ tiếp tuyến tại \(M\) vuông góc với \(O x\).

Tương tự:

• Tiếp tuyến tại \(N\) của \(\left(\right. K \left.\right)\) vuông góc với \(O y\).

Vậy:

• \(M C \bot O x\)
• \(N C \bot O y\)

Do đó:

• \(O M \parallel O x\) vuông góc \(M C\)
• \(O N \parallel O y\) vuông góc \(N C\)
• Hai đường thẳng qua \(C\) vuông góc tương ứng tạo thành hình vuông.

Ta có:

\(O M = O I + I M = O I + O K = O N\)

⇒ bốn cạnh bằng nhau và vuông góc → \(O M C N\) là hình vuông.

c,Tâm \(I\) thuộc \(O x\), tâm \(K\) thuộc \(O y\).

Đường thẳng \(M C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. I \left.\right)\) tại \(M\).
Ta có:

\(\angle I M C = 90^{\circ} .\)

Tương tự tại \(N\):

\(\angle K N C = 90^{\circ} .\)

Mà \(O M C N\) là hình vuông nên:

\(M C \parallel O N , N C \parallel O M .\)

Suy ra \(C\) nằm trên trục đẳng giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng nối tâm đến các giao điểm \(A , B\).

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài, đường qua điểm tiếp xúc và đi qua giao điểm thứ hai của hai đường tròn (trục căn bậc hai) luôn là đường thẳng chứa các giao điểm A, B và điểm tiếp xúc.

Điểm tiếp xúc chính là \(C\).

⇒ A, B, C thẳng hàng.

d, Ta có:

\(O I + O K = a \left(\right. \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \left.\right)\)

Trong hình vuông \(O M C N\):

\(O M = O N = O I + O K = a .\)

Vậy khi \(I\) và \(K\) di chuyển, \(M\) và \(N\) luôn chạy trên hai tia \(O x\) và \(O y\) sao cho:

\(O M = O N = a .\)

Do đó:

• \(M\) luôn thuộc hình tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O x\).
• \(N\) luôn thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O y\).
• Điểm \(C\), là đỉnh hình vuông \(O M C N\), luôn là đỉnh thứ tư của hình vuông cạnh \(a\) dựng trên hai tia vuông góc.

Vị trí của \(C\) không đổi:

\(C \equiv \left(\right. a , a \left.\right)\)

(tính theo hệ trục \(O x , O y\)).

Từ phần (c): A, B, C thẳng hàng.

Vì \(C\) cố định nên:

Đường thẳng \(A B\) luôn đi qua điểm cố định \(C\).

a, Bán kính các đường tròn là:

• Đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\): \(r_{I} = O K\)
• Đường tròn \(\left(\right. K \left.\right)\): \(r_{K} = O I\)

Khoảng cách tâm:

\(I K = O I + O K = r_{K} + r_{I} .\)

Điều kiện hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

\(I K = r_{I} + r_{K} .\)

Vì đẳng thức xảy ra, hai đường tròn luôn tiếp xúc ngoài, do đó luôn có chung một điểm ⇒ luôn cắt nhau.

b,

• M nằm trên tia \(O x\), và \(\left(\right. I \left.\right)\) có tâm \(I\) trên \(O x\) ⇒ bán kính \(I M\) vuông góc tiếp tuyến tại \(M\).
• \(I M\) nằm trên tia \(O x\) ⇒ tiếp tuyến tại \(M\) vuông góc với \(O x\).

Tương tự:

• Tiếp tuyến tại \(N\) của \(\left(\right. K \left.\right)\) vuông góc với \(O y\).

Vậy:

• \(M C \bot O x\)
• \(N C \bot O y\)

Do đó:

• \(O M \parallel O x\) vuông góc \(M C\)
• \(O N \parallel O y\) vuông góc \(N C\)
• Hai đường thẳng qua \(C\) vuông góc tương ứng tạo thành hình vuông.

Ta có:

\(O M = O I + I M = O I + O K = O N\)

⇒ bốn cạnh bằng nhau và vuông góc → \(O M C N\) là hình vuông.

c,Tâm \(I\) thuộc \(O x\), tâm \(K\) thuộc \(O y\).

Đường thẳng \(M C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. I \left.\right)\) tại \(M\).
Ta có:

\(\angle I M C = 90^{\circ} .\)

Tương tự tại \(N\):

\(\angle K N C = 90^{\circ} .\)

Mà \(O M C N\) là hình vuông nên:

\(M C \parallel O N , N C \parallel O M .\)

Suy ra \(C\) nằm trên trục đẳng giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng nối tâm đến các giao điểm \(A , B\).

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài, đường qua điểm tiếp xúc và đi qua giao điểm thứ hai của hai đường tròn (trục căn bậc hai) luôn là đường thẳng chứa các giao điểm A, B và điểm tiếp xúc.

Điểm tiếp xúc chính là \(C\).

⇒ A, B, C thẳng hàng.

d, Ta có:

\(O I + O K = a \left(\right. \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \left.\right)\)

Trong hình vuông \(O M C N\):

\(O M = O N = O I + O K = a .\)

Vậy khi \(I\) và \(K\) di chuyển, \(M\) và \(N\) luôn chạy trên hai tia \(O x\) và \(O y\) sao cho:

\(O M = O N = a .\)

Do đó:

• \(M\) luôn thuộc hình tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O x\).
• \(N\) luôn thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(a\) trên tia \(O y\).
• Điểm \(C\), là đỉnh hình vuông \(O M C N\), luôn là đỉnh thứ tư của hình vuông cạnh \(a\) dựng trên hai tia vuông góc.

Vị trí của \(C\) không đổi:

\(C \equiv \left(\right. a , a \left.\right)\)

(tính theo hệ trục \(O x , O y\)).

Từ phần (c): A, B, C thẳng hàng.

Vì \(C\) cố định nên:

Đường thẳng \(A B\) luôn đi qua điểm cố định \(C\).