a) Vì \(B C\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\), nên với điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) ta có \(\angle B A C = 90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa cung \(B C\)).
Tương tự vì \(B D\) là đường kính của \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) và \(A \in \left(\right. O^{'} \left.\right)\) nên \(\angle B A D = 90^{\circ}\).
Vậy cả hai tia \(A C\) và \(A D\) đều vuông góc với \(A B\), nên chúng trùng nhau. Do đó ba điểm \(C , A , D\) thẳng hàng.

b) Ta biết \(O\) là trung điểm của \(B C\) nên \(B C = 2 \cdot O B = 2 \cdot 4 = 8\) cm.
Tương tự \(B D = 2 \cdot O^{'} B = 2 \cdot 3 = 6\) cm.

Góc giữa hai cạnh \(B C\) và \(B D\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(B O\) và \(B O^{'}\), tức là \(\angle C B D = \angle O B O^{'}\). Trong tam giác \(O O^{'} B\) các cạnh cho là \(O O^{'} = 5 , \&\text{nbsp}; O B = 4 , \&\text{nbsp}; O^{'} B = 3\) — đó là tam giác \(3 - 4 - 5\), nên \(\angle O B O^{'} = 90^{\circ}\). Vậy \(\angle C B D = 90^{\circ}\).

Diện tích tam giác \(B C D\) là

\(S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot B D \cdot sin ⁡ \angle C B D = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot sin ⁡ 90^{\circ} = 24 \&\text{nbsp}; (\text{cm}^{2} \left.\right) .\)

Đáp số: \(S_{B C D} = 24 \&\text{nbsp}; \left(c m\right)^{2} .\)

a) Ta có \(\mid 12 - 5 \mid = 7 < 13 < 12 + 5 = 17\).
Vì khoảng cách giữa hai tâm nằm giữa hiệu và tổng bán kính nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \(A , B\) là hai giao điểm. Xét tam giác \(O O^{'} A\).
Ta có \(O A = 12 , \textrm{ }\textrm{ } O^{'} A = 5 , \textrm{ }\textrm{ } O O^{'} = 13\). Do đó

\(O A^{2} + O^{'} A^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13^{2} = O O^{' 2} .\)

Vậy tam giác \(O O^{'} A\) vuông tại \(A\). Do đó \(O A \bot O^{'} A\).

• Vì tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) vuông góc với bán kính \(O^{'} A\), mà \(O A \bot O^{'} A\), nên \(O A\)là tiếp tuyến của \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tại \(A\).
• Tương tự, từ \(O^{'} A \bot O A\) suy ra \(O^{'} A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\).

Tính \(A B\). Vì \(O O^{'}\) là đường nối hai tâm nên \(O O^{'}\) là đường trung trực của đoạn \(A B\). Gọi \(M\) là trung điểm \(A B\). Đặt trục tọa độ: \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } O^{'} \left(\right. 13 , 0 \left.\right)\). Giao điểm của hai đường tròn thỏa

\(\left{\right. x^{2} + y^{2} = 144 , \\ \left(\right. x - 13 \left.\right)^{2} + y^{2} = 25.\)

Trừ hai phương trình: \(x^{2} - \left(\right. x - 13 \left.\right)^{2} = 119 \Rightarrow 26 x = 288 \Rightarrow x = \frac{144}{13} .\)
Suy ra

\(y^{2} = 144 - x^{2} = 144 - \left(\left(\right. \frac{144}{13} \left.\right)\right)^{2} = \frac{3600}{169} \Rightarrow \mid y \mid = \frac{60}{13} .\)

Do đó \(A B = 2 \mid y \mid = \frac{120}{13}\) (cm).

Kết luận: hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm; \(O A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\), \(O^{'} A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\); và \(A B = \frac{120}{13}\) cm.