Nông Ngọc Bích
Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của Nông Ngọc Bích
0
0
0
0
0
0
0
2025-12-09 21:54:19
a. Chứng minh hai đường tròn (I)(𝐼)và (K)(𝐾)luôn cắt nhau
- Bán kính của đường tròn (I)(𝐼)là RI=OK𝑅𝐼=𝑂𝐾. Bán kính của đường tròn (K)(𝐾)là RK=OI𝑅𝐾=𝑂𝐼.
- Khoảng cách giữa hai tâm I𝐼và K𝐾là IK𝐼𝐾.
- Trong tam giác vuông OIK𝑂𝐼𝐾, theo định lý Pytago, có IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2.
- Tổng hai bán kính là RI+RK=OK+OI𝑅𝐼+𝑅𝐾=𝑂𝐾+𝑂𝐼.
- Hiệu hai bán kính là |RI−RK|=|OK−OI||𝑅𝐼−𝑅𝐾|=|𝑂𝐾−𝑂𝐼|.
- Để hai đường tròn cắt nhau, cần chứng minh |RI−RK|<IK<RI+RK|𝑅𝐼−𝑅𝐾|<𝐼𝐾<𝑅𝐼+𝑅𝐾.
- Từ IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2, suy ra IK=OI2+OK2𝐼𝐾=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2√.
- So sánh IK𝐼𝐾với OI+OK𝑂𝐼+𝑂𝐾: IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2và (OI+OK)2=OI2+OK2+2⋅OI⋅OK(𝑂𝐼+𝑂𝐾)2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2+2⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾. Vì OI>0𝑂𝐼>0và OK>0𝑂𝐾>0, nên 2⋅OI⋅OK>02⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾>0. Do đó, IK2<(OI+OK)2𝐼𝐾2<(𝑂𝐼+𝑂𝐾)2, suy ra IK<OI+OK𝐼𝐾<𝑂𝐼+𝑂𝐾.
- So sánh IK𝐼𝐾với |OI−OK||𝑂𝐼−𝑂𝐾|: IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2và (OI−OK)2=OI2+OK2−2⋅OI⋅OK(𝑂𝐼−𝑂𝐾)2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2−2⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾. Vì OI>0𝑂𝐼>0và OK>0𝑂𝐾>0, nên -2⋅OI⋅OK<0−2⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾<0. Do đó, IK2>(OI−OK)2𝐼𝐾2>(𝑂𝐼−𝑂𝐾)2, suy ra IK>|OI−OK|𝐼𝐾>|𝑂𝐼−𝑂𝐾|.
- Vì |OI−OK|<IK<OI+OK|𝑂𝐼−𝑂𝐾|<𝐼𝐾<𝑂𝐼+𝑂𝐾, hai đường tròn (I)(𝐼)và (K)(𝐾)luôn cắt nhau.
- Đường tròn (I;OK)(𝐼;𝑂𝐾)cắt tia Ox𝑂𝑥tại M𝑀, nên IM=OK𝐼𝑀=𝑂𝐾.
- Vì I𝐼nằm giữa O𝑂và M𝑀, nên OM=OI+IM=OI+OK𝑂𝑀=𝑂𝐼+𝐼𝑀=𝑂𝐼+𝑂𝐾.
- Đường tròn (K;OI)(𝐾;𝑂𝐼)cắt tia Oy𝑂𝑦tại N𝑁, nên KN=OI𝐾𝑁=𝑂𝐼.
- Vì K𝐾nằm giữa O𝑂và N𝑁, nên ON=OK+KN=OK+OI𝑂𝑁=𝑂𝐾+𝐾𝑁=𝑂𝐾+𝑂𝐼.
- Từ đó, OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁.
- Tiếp tuyến tại M𝑀của đường tròn (I)(𝐼)vuông góc với bán kính IM𝐼𝑀. . Do đó, CM⟂IM𝐶𝑀⟂𝐼𝑀. Vì I𝐼nằm trên Ox𝑂𝑥, nên IM𝐼𝑀nằm trên Ox𝑂𝑥. Suy ra CM⟂Ox𝐶𝑀⟂𝑂𝑥.
- Tiếp tuyến tại N𝑁của đường tròn (K)(𝐾)vuông góc với bán kính KN𝐾𝑁. . Do đó, CN⟂KN𝐶𝑁⟂𝐾𝑁. Vì K𝐾nằm trên Oy𝑂𝑦, nên KN𝐾𝑁nằm trên Oy𝑂𝑦. Suy ra CN⟂Oy𝐶𝑁⟂𝑂𝑦.
- Tứ giác OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁có ∠O=∠M=∠N=90∘∠𝑂=∠𝑀=∠𝑁=90∘.
- Tứ giác OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁là hình chữ nhật.
- Vì OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁, hình chữ nhật OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁là hình vuông.
- AB𝐴𝐵là dây cung chung của hai đường tròn (I)(𝐼)và (K)(𝐾).
- AB𝐴𝐵vuông góc với đường nối tâm IK𝐼𝐾.
- C𝐶là giao điểm của hai tiếp tuyến tại M𝑀và N𝑁.
- OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁là hình vuông, nên OC𝑂𝐶là đường chéo của hình vuông.
- OC𝑂𝐶là đường phân giác của ∠MON∠𝑀𝑂𝑁.
- ∠MON=90∘∠𝑀𝑂𝑁=90∘, nên ∠MOC=45∘∠𝑀𝑂𝐶=45∘.
- Trong tam giác vuông OIK𝑂𝐼𝐾, OI=RK𝑂𝐼=𝑅𝐾và OK=RI𝑂𝐾=𝑅𝐼.
- I𝐼nằm trên Ox𝑂𝑥, K𝐾nằm trên Oy𝑂𝑦.
- C𝐶có tọa độ (OM,ON)(𝑂𝑀,𝑂𝑁). Vì OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁, C𝐶có tọa độ (OM,OM)(𝑂𝑀,𝑂𝑀).
- A,B𝐴,𝐵là giao điểm của hai đường tròn (x−OI)2+y2=OK2(𝑥−𝑂𝐼)2+𝑦2=𝑂𝐾2và x2+(y−OK)2=OI2𝑥2+(𝑦−𝑂𝐾)2=𝑂𝐼2.
- Trục đẳng phương của hai đường tròn là đường thẳng AB𝐴𝐵.
- Phương trình trục đẳng phương là (x−OI)2+y2−OK2=x2+(y−OK)2−OI2(𝑥−𝑂𝐼)2+𝑦2−𝑂𝐾2=𝑥2+(𝑦−𝑂𝐾)2−𝑂𝐼2.
- x2−2x⋅OI+OI2+y2−OK2=x2+y2−2y⋅OK+OK2−OI2𝑥2−2𝑥⋅𝑂𝐼+𝑂𝐼2+𝑦2−𝑂𝐾2=𝑥2+𝑦2−2𝑦⋅𝑂𝐾+𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- -2x⋅OI+OI2−OK2=-2y⋅OK+OK2−OI2−2𝑥⋅𝑂𝐼+𝑂𝐼2−𝑂𝐾2=−2𝑦⋅𝑂𝐾+𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- 2y⋅OK−2x⋅OI=2OK2−2OI22𝑦⋅𝑂𝐾−2𝑥⋅𝑂𝐼=2𝑂𝐾2−2𝑂𝐼2.
- y⋅OK−x⋅OI=OK2−OI2𝑦⋅𝑂𝐾−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵là y⋅OK−x⋅OI=OK2−OI2𝑦⋅𝑂𝐾−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Tọa độ của C𝐶là (OM,ON)=(OI+OK,OI+OK)(𝑂𝑀,𝑂𝑁)=(𝑂𝐼+𝑂𝐾,𝑂𝐼+𝑂𝐾).
- Thay tọa độ của C𝐶vào phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵: (OI+OK)⋅OK−(OI+OK)⋅OI=OK2−OI2(𝑂𝐼+𝑂𝐾)⋅𝑂𝐾−(𝑂𝐼+𝑂𝐾)⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- (OI+OK)(OK−OI)=OK2−OI2(𝑂𝐼+𝑂𝐾)(𝑂𝐾−𝑂𝐼)=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- OK2−OI2=OK2−OI2𝑂𝐾2−𝑂𝐼2=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Điều này chứng tỏ C𝐶nằm trên đường thẳng AB𝐴𝐵.
- Ba điểm A,B,C𝐴,𝐵,𝐶thẳng hàng.
- Phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵là y⋅OK−x⋅OI=OK2−OI2𝑦⋅𝑂𝐾−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Theo giả thiết, OI+OK=a𝑂𝐼+𝑂𝐾=𝑎(không đổi).
- OK=a−OI𝑂𝐾=𝑎−𝑂𝐼.
- Thay OK𝑂𝐾vào phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵: y(a−OI)−x⋅OI=(a−OI)2−OI2𝑦(𝑎−𝑂𝐼)−𝑥⋅𝑂𝐼=(𝑎−𝑂𝐼)2−𝑂𝐼2.
- ay−y⋅OI−x⋅OI=a2−2a⋅OI+OI2−OI2𝑎𝑦−𝑦⋅𝑂𝐼−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑎2−2𝑎⋅𝑂𝐼+𝑂𝐼2−𝑂𝐼2.
- ay−(x+y)⋅OI=a2−2a⋅OI𝑎𝑦−(𝑥+𝑦)⋅𝑂𝐼=𝑎2−2𝑎⋅𝑂𝐼.
- ay−a2=(x+y)⋅OI−2a⋅OI𝑎𝑦−𝑎2=(𝑥+𝑦)⋅𝑂𝐼−2𝑎⋅𝑂𝐼.
- a(y−a)=(x+y−2a)⋅OI𝑎(𝑦−𝑎)=(𝑥+𝑦−2𝑎)⋅𝑂𝐼.
- Phương trình này đúng với mọi giá trị của OI𝑂𝐼khi I𝐼di chuyển trên Ox𝑂𝑥.
- Để phương trình này đúng với mọi OI𝑂𝐼, các hệ số của OI𝑂𝐼và hằng số phải bằng 00.
- a(y−a)=0𝑎(𝑦−𝑎)=0và x+y−2a=0𝑥+𝑦−2𝑎=0.
- Vì a≠0𝑎≠0, nên y−a=0𝑦−𝑎=0, suy ra y=a𝑦=𝑎.
- x+y−2a=0𝑥+𝑦−2𝑎=0, thay y=a𝑦=𝑎vào, ta có x+a−2a=0𝑥+𝑎−2𝑎=0, suy ra x=a𝑥=𝑎.
- Đường thẳng AB𝐴𝐵luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (a,a)(𝑎,𝑎).
2025-12-09 21:54:15
a. Chứng minh hai đường tròn (I)(𝐼)và (K)(𝐾)luôn cắt nhau
- Bán kính của đường tròn (I)(𝐼)là RI=OK𝑅𝐼=𝑂𝐾. Bán kính của đường tròn (K)(𝐾)là RK=OI𝑅𝐾=𝑂𝐼.
- Khoảng cách giữa hai tâm I𝐼và K𝐾là IK𝐼𝐾.
- Trong tam giác vuông OIK𝑂𝐼𝐾, theo định lý Pytago, có IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2.
- Tổng hai bán kính là RI+RK=OK+OI𝑅𝐼+𝑅𝐾=𝑂𝐾+𝑂𝐼.
- Hiệu hai bán kính là |RI−RK|=|OK−OI||𝑅𝐼−𝑅𝐾|=|𝑂𝐾−𝑂𝐼|.
- Để hai đường tròn cắt nhau, cần chứng minh |RI−RK|<IK<RI+RK|𝑅𝐼−𝑅𝐾|<𝐼𝐾<𝑅𝐼+𝑅𝐾.
- Từ IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2, suy ra IK=OI2+OK2𝐼𝐾=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2√.
- So sánh IK𝐼𝐾với OI+OK𝑂𝐼+𝑂𝐾: IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2và (OI+OK)2=OI2+OK2+2⋅OI⋅OK(𝑂𝐼+𝑂𝐾)2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2+2⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾. Vì OI>0𝑂𝐼>0và OK>0𝑂𝐾>0, nên 2⋅OI⋅OK>02⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾>0. Do đó, IK2<(OI+OK)2𝐼𝐾2<(𝑂𝐼+𝑂𝐾)2, suy ra IK<OI+OK𝐼𝐾<𝑂𝐼+𝑂𝐾.
- So sánh IK𝐼𝐾với |OI−OK||𝑂𝐼−𝑂𝐾|: IK2=OI2+OK2𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2và (OI−OK)2=OI2+OK2−2⋅OI⋅OK(𝑂𝐼−𝑂𝐾)2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2−2⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾. Vì OI>0𝑂𝐼>0và OK>0𝑂𝐾>0, nên -2⋅OI⋅OK<0−2⋅𝑂𝐼⋅𝑂𝐾<0. Do đó, IK2>(OI−OK)2𝐼𝐾2>(𝑂𝐼−𝑂𝐾)2, suy ra IK>|OI−OK|𝐼𝐾>|𝑂𝐼−𝑂𝐾|.
- Vì |OI−OK|<IK<OI+OK|𝑂𝐼−𝑂𝐾|<𝐼𝐾<𝑂𝐼+𝑂𝐾, hai đường tròn (I)(𝐼)và (K)(𝐾)luôn cắt nhau.
- Đường tròn (I;OK)(𝐼;𝑂𝐾)cắt tia Ox𝑂𝑥tại M𝑀, nên IM=OK𝐼𝑀=𝑂𝐾.
- Vì I𝐼nằm giữa O𝑂và M𝑀, nên OM=OI+IM=OI+OK𝑂𝑀=𝑂𝐼+𝐼𝑀=𝑂𝐼+𝑂𝐾.
- Đường tròn (K;OI)(𝐾;𝑂𝐼)cắt tia Oy𝑂𝑦tại N𝑁, nên KN=OI𝐾𝑁=𝑂𝐼.
- Vì K𝐾nằm giữa O𝑂và N𝑁, nên ON=OK+KN=OK+OI𝑂𝑁=𝑂𝐾+𝐾𝑁=𝑂𝐾+𝑂𝐼.
- Từ đó, OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁.
- Tiếp tuyến tại M𝑀của đường tròn (I)(𝐼)vuông góc với bán kính IM𝐼𝑀. . Do đó, CM⟂IM𝐶𝑀⟂𝐼𝑀. Vì I𝐼nằm trên Ox𝑂𝑥, nên IM𝐼𝑀nằm trên Ox𝑂𝑥. Suy ra CM⟂Ox𝐶𝑀⟂𝑂𝑥.
- Tiếp tuyến tại N𝑁của đường tròn (K)(𝐾)vuông góc với bán kính KN𝐾𝑁. . Do đó, CN⟂KN𝐶𝑁⟂𝐾𝑁. Vì K𝐾nằm trên Oy𝑂𝑦, nên KN𝐾𝑁nằm trên Oy𝑂𝑦. Suy ra CN⟂Oy𝐶𝑁⟂𝑂𝑦.
- Tứ giác OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁có ∠O=∠M=∠N=90∘∠𝑂=∠𝑀=∠𝑁=90∘.
- Tứ giác OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁là hình chữ nhật.
- Vì OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁, hình chữ nhật OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁là hình vuông.
- AB𝐴𝐵là dây cung chung của hai đường tròn (I)(𝐼)và (K)(𝐾).
- AB𝐴𝐵vuông góc với đường nối tâm IK𝐼𝐾.
- C𝐶là giao điểm của hai tiếp tuyến tại M𝑀và N𝑁.
- OMCN𝑂𝑀𝐶𝑁là hình vuông, nên OC𝑂𝐶là đường chéo của hình vuông.
- OC𝑂𝐶là đường phân giác của ∠MON∠𝑀𝑂𝑁.
- ∠MON=90∘∠𝑀𝑂𝑁=90∘, nên ∠MOC=45∘∠𝑀𝑂𝐶=45∘.
- Trong tam giác vuông OIK𝑂𝐼𝐾, OI=RK𝑂𝐼=𝑅𝐾và OK=RI𝑂𝐾=𝑅𝐼.
- I𝐼nằm trên Ox𝑂𝑥, K𝐾nằm trên Oy𝑂𝑦.
- C𝐶có tọa độ (OM,ON)(𝑂𝑀,𝑂𝑁). Vì OM=ON𝑂𝑀=𝑂𝑁, C𝐶có tọa độ (OM,OM)(𝑂𝑀,𝑂𝑀).
- A,B𝐴,𝐵là giao điểm của hai đường tròn (x−OI)2+y2=OK2(𝑥−𝑂𝐼)2+𝑦2=𝑂𝐾2và x2+(y−OK)2=OI2𝑥2+(𝑦−𝑂𝐾)2=𝑂𝐼2.
- Trục đẳng phương của hai đường tròn là đường thẳng AB𝐴𝐵.
- Phương trình trục đẳng phương là (x−OI)2+y2−OK2=x2+(y−OK)2−OI2(𝑥−𝑂𝐼)2+𝑦2−𝑂𝐾2=𝑥2+(𝑦−𝑂𝐾)2−𝑂𝐼2.
- x2−2x⋅OI+OI2+y2−OK2=x2+y2−2y⋅OK+OK2−OI2𝑥2−2𝑥⋅𝑂𝐼+𝑂𝐼2+𝑦2−𝑂𝐾2=𝑥2+𝑦2−2𝑦⋅𝑂𝐾+𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- -2x⋅OI+OI2−OK2=-2y⋅OK+OK2−OI2−2𝑥⋅𝑂𝐼+𝑂𝐼2−𝑂𝐾2=−2𝑦⋅𝑂𝐾+𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- 2y⋅OK−2x⋅OI=2OK2−2OI22𝑦⋅𝑂𝐾−2𝑥⋅𝑂𝐼=2𝑂𝐾2−2𝑂𝐼2.
- y⋅OK−x⋅OI=OK2−OI2𝑦⋅𝑂𝐾−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵là y⋅OK−x⋅OI=OK2−OI2𝑦⋅𝑂𝐾−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Tọa độ của C𝐶là (OM,ON)=(OI+OK,OI+OK)(𝑂𝑀,𝑂𝑁)=(𝑂𝐼+𝑂𝐾,𝑂𝐼+𝑂𝐾).
- Thay tọa độ của C𝐶vào phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵: (OI+OK)⋅OK−(OI+OK)⋅OI=OK2−OI2(𝑂𝐼+𝑂𝐾)⋅𝑂𝐾−(𝑂𝐼+𝑂𝐾)⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- (OI+OK)(OK−OI)=OK2−OI2(𝑂𝐼+𝑂𝐾)(𝑂𝐾−𝑂𝐼)=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- OK2−OI2=OK2−OI2𝑂𝐾2−𝑂𝐼2=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Điều này chứng tỏ C𝐶nằm trên đường thẳng AB𝐴𝐵.
- Ba điểm A,B,C𝐴,𝐵,𝐶thẳng hàng.
- Phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵là y⋅OK−x⋅OI=OK2−OI2𝑦⋅𝑂𝐾−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑂𝐾2−𝑂𝐼2.
- Theo giả thiết, OI+OK=a𝑂𝐼+𝑂𝐾=𝑎(không đổi).
- OK=a−OI𝑂𝐾=𝑎−𝑂𝐼.
- Thay OK𝑂𝐾vào phương trình đường thẳng AB𝐴𝐵: y(a−OI)−x⋅OI=(a−OI)2−OI2𝑦(𝑎−𝑂𝐼)−𝑥⋅𝑂𝐼=(𝑎−𝑂𝐼)2−𝑂𝐼2.
- ay−y⋅OI−x⋅OI=a2−2a⋅OI+OI2−OI2𝑎𝑦−𝑦⋅𝑂𝐼−𝑥⋅𝑂𝐼=𝑎2−2𝑎⋅𝑂𝐼+𝑂𝐼2−𝑂𝐼2.
- ay−(x+y)⋅OI=a2−2a⋅OI𝑎𝑦−(𝑥+𝑦)⋅𝑂𝐼=𝑎2−2𝑎⋅𝑂𝐼.
- ay−a2=(x+y)⋅OI−2a⋅OI𝑎𝑦−𝑎2=(𝑥+𝑦)⋅𝑂𝐼−2𝑎⋅𝑂𝐼.
- a(y−a)=(x+y−2a)⋅OI𝑎(𝑦−𝑎)=(𝑥+𝑦−2𝑎)⋅𝑂𝐼.
- Phương trình này đúng với mọi giá trị của OI𝑂𝐼khi I𝐼di chuyển trên Ox𝑂𝑥.
- Để phương trình này đúng với mọi OI𝑂𝐼, các hệ số của OI𝑂𝐼và hằng số phải bằng 00.
- a(y−a)=0𝑎(𝑦−𝑎)=0và x+y−2a=0𝑥+𝑦−2𝑎=0.
- Vì a≠0𝑎≠0, nên y−a=0𝑦−𝑎=0, suy ra y=a𝑦=𝑎.
- x+y−2a=0𝑥+𝑦−2𝑎=0, thay y=a𝑦=𝑎vào, ta có x+a−2a=0𝑥+𝑎−2𝑎=0, suy ra x=a𝑥=𝑎.
- Đường thẳng AB𝐴𝐵luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (a,a)(𝑎,𝑎).
2025-12-09 21:50:51
Chứng minh ba điểm C,A,D𝐶,𝐴,𝐷thẳng hàng
- Góc ∠BAC∠𝐵𝐴𝐶là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)(𝑂).
- Do đó, ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘.
- Góc ∠BAD∠𝐵𝐴𝐷là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O′)(𝑂′).
- Do đó, ∠BAD=90∘∠𝐵𝐴𝐷=90∘.
- Tổng của hai góc ∠BAC∠𝐵𝐴𝐶và ∠BAD∠𝐵𝐴𝐷là ∠CAD=∠BAC+∠BAD=90∘+90∘=180∘∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=90∘+90∘=180∘.
- Vì ∠CAD=180∘∠𝐶𝐴𝐷=180∘, ba điểm C,A,D𝐶,𝐴,𝐷thẳng hàng.
- Xét tam giác OBO′𝑂𝐵𝑂′.
- Các cạnh của tam giác OBO′𝑂𝐵𝑂′có độ dài là OB=4cm𝑂𝐵=4cm, O′B=3cm𝑂′𝐵=3cm, và OO′=5cm𝑂𝑂′=5cm.
- Kiểm tra định lý Pytago: OB2+O′B2=42+32=16+9=25𝑂𝐵2+𝑂′𝐵2=42+32=16+9=25.
- OO′2=52=25𝑂𝑂′2=52=25.
- Vì OB2+O′B2=OO′2𝑂𝐵2+𝑂′𝐵2=𝑂𝑂′2, tam giác OBO′𝑂𝐵𝑂′là tam giác vuông tại B𝐵.
- Do đó, OB⟂O′B𝑂𝐵⟂𝑂′𝐵.
- BC𝐵𝐶là đường kính của đường tròn (O)(𝑂), nên BC=2⋅OB=2⋅4=8cm𝐵𝐶=2⋅𝑂𝐵=2⋅4=8cm.
- BD𝐵𝐷là đường kính của đường tròn (O′)(𝑂′), nên BD=2⋅O′B=2⋅3=6cm𝐵𝐷=2⋅𝑂′𝐵=2⋅3=6cm.
- Vì OB⟂O′B𝑂𝐵⟂𝑂′𝐵, nên BC⟂BD𝐵𝐶⟂𝐵𝐷.
- Tam giác BCD𝐵𝐶𝐷là tam giác vuông tại B𝐵.
- Diện tích tam giác BCD𝐵𝐶𝐷được tính bằng công thức SBCD=12⋅BC⋅BD𝑆𝐵𝐶𝐷=12⋅𝐵𝐶⋅𝐵𝐷.
2025-12-09 21:49:39
a) Chứng minh hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
- Gọi R=12cm𝑅=12cm (bán kính đường tròn (O)(𝑂)) và r=5cm𝑟=5cm (bán kính đường tròn (O′)(𝑂′)).
- Ta có R−r=12−5=7cm𝑅−𝑟=12−5=7cm và R+r=12+5=17cm𝑅+𝑟=12+5=17cm.
- Vì 7cm<13cm<17cm7cm<13cm<17cm (tức R−r<OO′<R+r𝑅−𝑟<𝑂𝑂′<𝑅+𝑟), nên hai đường tròn (O)(𝑂) và (O′)(𝑂′) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A𝐴 and B𝐵.
- Chứng minh OA𝑂𝐴 là tiếp tuyến của (O′)(𝑂′) và O′A𝑂′𝐴 là tiếp tuyến của (O)(𝑂):
- Xét tam giác O′AO𝑂′𝐴𝑂: OA=R=12cm𝑂𝐴=𝑅=12cm, O′A=r=5cm𝑂′𝐴=𝑟=5cm, OO′=13cm𝑂𝑂′=13cm.
- Ta thấy OA2+O′A2=122+52=144+25=169𝑂𝐴2+𝑂′𝐴2=122+52=144+25=169.
- OO′2=132=169𝑂𝑂′2=132=169.
- Do đó, OA2+O′A2=OO′2𝑂𝐴2+𝑂′𝐴2=𝑂𝑂′2, suy ra tam giác O′AO𝑂′𝐴𝑂 vuông tại A𝐴.
- Vì OA⟂O′A𝑂𝐴⟂𝑂′𝐴, mà O′A𝑂′𝐴 là bán kính của đường tròn (O′)(𝑂′), nên OA𝑂𝐴 là tiếp tuyến của đường tròn (O′)(𝑂′).
- Tương tự, vì O′A⟂OA𝑂′𝐴⟂𝑂𝐴, mà OA𝑂𝐴 là bán kính của đường tròn (O)(𝑂), nên O′A𝑂′𝐴 là tiếp tuyến của đường tròn (O)(𝑂).
- Tính độ dài AB𝐴𝐵:
- AB𝐴𝐵 là dây chung của hai đường tròn. OO′𝑂𝑂′ là đường nối tâm.
- OO′𝑂𝑂′ là đường trung trực của AB𝐴𝐵, nên AB⟂OO′𝐴𝐵⟂𝑂𝑂′ tại trung điểm M𝑀 của AB𝐴𝐵.
- Trong tam giác vuông O′AO𝑂′𝐴𝑂, AM𝐴𝑀 là đường cao ứng với cạnh huyền OO′𝑂𝑂′.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: OA×O′A=AM×OO′𝑂𝐴×𝑂′𝐴=𝐴𝑀×𝑂𝑂′.
- 12×5=AM×13⇒AM=6013cm12×5=𝐴𝑀×13⇒𝐴𝑀=6013cm.
- Độ dài AB=2×AM=2×6013=12013cm𝐴𝐵=2×𝐴𝑀=2×6013=12013cm.