gọi đoạn ab = x km, đoạn bc = y km.

• chi phí: 2x + 3y = 13 tỉ
• đoạn bc lên hải đăng: y = √((5 - x)² + 1)

thay vào chi phí:

2x + 3√((5 - x)² + 1) = 13

bình phương hai vế:

5x² - 38x + 65 = 0

giải phương trình: Δ = 144 → √Δ = 12

x = (38 ± 12)/10 → x = 5 hoặc x = 2,6

với x = 2,6 → y = √((5-2,6)² +1) = √6,76 ≈ 2,6

tổng chiều dài dây = x + y ≈ 2,6 + 2,6 = 5,2 km

a) tìm cos α giữa Δ và Δ1

công thức cos góc giữa hai đường thẳng a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 là:

cos α = |a1a2 + b1b2| / (√(a1² + b1²) * √(a2² + b2²))

xét Δ: a1 = 3, b1 = -4
Δ1: a2 = 12, b2 = -5

tử số: 312 + (-4)(-5) = 36 + 20 = 56
mẫu số: √(3² + (-4)²) * √(12² + (-5)²) = √(9+16) * √(144+25) = 5 * 13 = 65

vậy cos α = 56 / 65

b) tìm đường thẳng d song song Δ và tiếp xúc với đường tròn

phương trình tổng quát của d song song Δ là:
d: 3x - 4y + k = 0

điều kiện để d tiếp xúc với đường tròn: khoảng cách từ tâm i(-3,2) đến d bằng bán kính r = 6

công thức khoảng cách:
d(i,d) = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²) = r

thay số: |3*(-3) - 4*2 + k| / √(3² + (-4)²) = 6
|-9 - 8 + k| / 5 = 6
|k - 17| / 5 = 6
|k - 17| = 30

giải phương trình trị tuyệt đối:
k - 17 = 30 → k = 47
k - 17 = -30 → k = -13

vậy hai đường thẳng tiếp xúc là:
d1: 3x - 4y + 47 = 0
d2: 3x - 4y - 13 = 0

a) giải bất phương trình

\(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\)

chia hai vế cho \(- 2\) (đổi chiều):

\(x^{2} - 9 x - 10 \leq 0\)

giải phương trình:

\(x^{2} - 9 x - 10 = 0\)\(\Delta = 121 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 11\)\(x = \frac{9 \pm 11}{2} \Rightarrow x = - 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 10\)

vì hệ số \(a > 0\), nên nghiệm là:

\(- 1 \leq x \leq 10\)

b) giải phương trình

\(2 x^{2} - 8 x + 4 = x - 2\)

chuyển vế:

\(2 x^{2} - 9 x + 6 = 0\)\(\Delta = 33\)\(x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}\)

Gọi \(x\) (cm) là độ rộng viền khung.

Khi đó kích thước toàn bộ khung ảnh là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\)

Diện tích cả khung là:

\(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 513\)

Khai triển:

\(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 425 + 84 x + 4 x^{2}\)

Lập phương trình:

\(4 x^{2} + 84 x + 425 = 513\)\(4 x^{2} + 84 x - 88 = 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)

Giải phương trình:

\(\Delta = 21^{2} + 4 \cdot 22 = 441 + 88 = 529\)\(\sqrt{\Delta} = 23\)\(x = \frac{- 21 \pm 23}{2}\)

Lấy nghiệm dương:

\(x = \frac{2}{2} = 1\)

a) viết hai đường thẳng dưới dạng hệ số góc:

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0 \Rightarrow y = - \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}\) ⇒ \(k_{1} = - \frac{3}{4}\)

\(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{12} x + \frac{7}{12}\) ⇒ \(k_{2} = \frac{5}{12}\)

ta có:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid 1 + k_{1} k_{2} \mid}{\sqrt{1 + k_{1}^{2}} \cdot \sqrt{1 + k_{2}^{2}}}\)

tính:

\(k_{1} k_{2} = - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12} = - \frac{15}{48} = - \frac{5}{16}\)\(1 + k_{1} k_{2} = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}\)\(\sqrt{1 + k_{1}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4} , \sqrt{1 + k_{2}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{25}{144}} = \frac{13}{12}\)\(cos ⁡ \alpha = \frac{11 / 16}{\left(\right. 5 / 4 \left.\right) \left(\right. 13 / 12 \left.\right)} = \frac{11}{16} \cdot \frac{48}{65} = \frac{33}{65}\)

b) \(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0 \Rightarrow k = - \frac{3}{4}\)

đường thẳng vuông góc có hệ số góc:

\(k^{'} = \frac{4}{3}\)

⇒ dạng:

\(y = \frac{4}{3} x + b \Rightarrow 4 x - 3 y + c = 0\)

tâm đường tròn \(I \left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng bằng 6:

a) Điều kiện để tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\):

vì hệ số \(a = 1 > 0\), cần và đủ là
\(\Delta < 0\)

\(\Delta = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)
\(= m^{2} - 6 m - 19\)

giải bất phương trình:
\(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

\(\Rightarrow 3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

b) giải phương trình
\(2 x^{2} - 8 x + 4 = x - 2\)

\(\Rightarrow 2 x^{2} - 9 x + 6 = 0\)

\(\Delta = 81 - 48 = 33\)

\(\Rightarrow x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}\)

a. phương trình cân bằng:

5cac₂o₄ + 2kmno₄ + 8h₂so₄ → 5caso₄ + k₂so₄ + 2mnso₄ + 10co₂ + 8h₂o

b.

số mol kmno₄:

n = c × v

n(kmno₄) = 4,88×10⁻⁴ × 2,05×10⁻³

n(kmno₄) = 1,0004×10⁻⁶ mol

theo phương trình:

2 kmno₄ : 5 cac₂o₄

n(cac₂o₄) = (5/2) × n(kmno₄)

n(cac₂o₄) = (5/2) × 1,0004×10⁻⁶

n(cac₂o₄) = 2,501×10⁻⁶ mol

mỗi cac₂o₄ tạo từ 1 ca²⁺

n(ca²⁺) = 2,501×10⁻⁶ mol

khối lượng ca²⁺ trong 1 ml máu:

m = n × m

m = 2,501×10⁻⁶ × 40

m = 1,0004×10⁻⁴ g

= 0,10004 mg

trong 100 ml máu:

0,10004 × 100 = 10,004 mg

Phản ứng:

cacl₂(s) → ca²⁺(aq) + 2cl⁻(aq)

Công thức:

Δᵣh°₂₉₈ = ΣΔf h°(sản phẩm) − ΣΔf h°(chất tham gia)

Tính:

Δᵣh°₂₉₈ = [(-542,83) + 2(-167,16)] − [(-795,0)]

Δᵣh°₂₉₈ = (-542,83 − 334,32) + 795,0

Δᵣh°₂₉₈ = -82,15 kJ/mol

a.fe + 4hno₃ → fe(no₃)₃ + no + 2h₂o

chất oxi hoá: hno₃ (n⁺⁵ trong no₃⁻)

chất khử: fe

quá trình oxi hoá: fe⁰ → fe³⁺ + 3e

quá trình khử: n⁺⁵ + 3e → n⁺² (no)

b.2kmno₄ + 10feso₄ + 8h₂so₄ → 5fe₂(so₄)₃ + 2mnso₄ + k₂so₄ + 8h₂o

chất oxi hoá: kmno₄ (mn⁺⁷)

chất khử: feso₄ (fe²⁺)

quá trình oxi hoá: fe²⁺ → fe³⁺ + e

quá trình khử: mn⁷⁺ + 5e → mn²⁺