Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM vàCN  cắt nhau tại  G(gt) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra \(\);GC:2

GM=GB:2

(1)

Mà P là trung điểm của GB (gt) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM =GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM=GP và GN=GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ  cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) ABCD là hình bình hành nên ta có :

AD = BC

AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên :

AE = ED;

F là trung điểm của BC nên:

BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có :

DE // BF (do AD // BC)

DE = BF

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành

b) Ta có H là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên H là trung điểm của BD.

VÌ EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà H là trung điểm của BD nên H là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF(2 điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF)

Xét tứ giác AEFD có :

AE // DF

AE = DF (chứng minh trên).

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC có :

AB // CF (vì AB // CD)

AB = CF (chứng minh trên)

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là H

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC

Mà H là trung điểm của AF

Suy ra H cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Xét tam gíac OAM và tam giác OCNcó;

góc BAC= gócACD (góc so le trong)

OA=OC (2 đường chéo)

góc AOM= góc CON (2 góc đối đỉnh)

nên tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g) => AM=CN

Ta có:

AB=CD (cạnh đối hbh)

=> AB-AM=CD-CN

=> MB=ND (1)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hbh)

=> MB//ND (2)

Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành 

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = ​AB, CF = DF = ​CD

Do đó AE = BE = CF = DF

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF laf hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

và tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.