Ta có Parabol (P): y = x^2 và đường thẳng (d): y = 2x + m^2.

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Để tìm giao điểm của (P) và (d), ta xét phương trình hoành độ giao điểm:

Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi biệt thức \Delta' của phương trình (*) lớn hơn 0.

Ta có các hệ số a=1, b'=-1, c=-m^2.

Biệt thức \Delta' là:

Vì m^2 \ge 0 với mọi giá trị của m, nên:

Do \Delta' \ge 1 > 0 với mọi giá trị của m, nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy, đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tìm m thỏa mãn (x_1 + 1)(x_2 + 1) = -3

Vì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x_1, x_2, theo hệ thức Vi-ét, ta có:

* Tổng hai nghiệm: S = x_1 + x_2 = - \frac{-2}{1} = 2

* Tích hai nghiệm: P = x_1 x_2 = \frac{-m^2}{1} = -m^2

Theo đề bài, ta có điều kiện:

Ta khai triển vế trái:

Thay x_1 + x_2 = S và x_1 x_2 = P vào, ta được:

Bây giờ, ta thay các giá trị của S và P từ hệ thức Vi-ét vào phương trình trên:

Vậy, các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x_1, x_2 thỏa mãn (x_1 + 1)(x_2 + 1) = -3 là m = \sqrt{6} hoặc m = -\sqrt{6}.

Ta có Parabol (P): y = x^2 và đường thẳng d: y = 2(m-1)x + 2m + 3.

a) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm (0; -5)

Đường thẳng d cắt trục tung Oy tại điểm có hoành độ x=0.

Thay x=0 vào phương trình đường thẳng d, ta được:

Theo đề bài, đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; -5), nên ta phải có y = -5.

Vậy, giá trị của m để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm (0; -5) là m = -4.

b) Tìm m để x_A^2 + x_B^2 = 10

1. Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

Đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_A, x_B. Điều này xảy ra khi biệt thức \Delta' của phương trình (*) lớn hơn 0.

Ta có:

Vì m^2 \ge 0 với mọi m, nên \Delta' = m^2 + 4 \ge 4.

Do \Delta' > 0 với mọi giá trị của m, nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x_A, x_B.

Vậy, đường thẳng d luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của m.

2. Tìm m để x_A^2 + x_B^2 = 10

Theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (*), ta có:

* Tổng hai nghiệm: S = x_A + x_B = - \frac{-2(m-1)}{1} = 2(m-1)

* Tích hai nghiệm: P = x_A x_B = \frac{-(2m+3)}{1} = -(2m+3)

Theo đề bài, ta cần tìm m để x_A^2 + x_B^2 = 10.

Ta biến đổi đẳng thức này qua S và P:

Thay S và P vào, ta được:

Phương trình này cho ta hai nghiệm:

Cả hai giá trị m=0 và m=1 đều thỏa mãn điều kiện \Delta' > 0 (vì \Delta' = m^2 + 4 \ge 4).

Vậy, các giá trị của m để x_A^2 + x_B^2 = 10 là m = 0 hoặc m = 1.