a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD. Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết)

nên G là trọng tâm của ABC Suy ra GN = GC/2 (tính chất trọng tâm của tam giác)

(1) Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên) GM = GB/2 Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên (2) GP = PB = GB/2 Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC/2 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. Suy ra AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM góc=OCN góc(hai góc so le trong). Xét tam giác OAM và tam giác OCN có: OAM góc=OCN góc (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên)

AOM góc=CON góc(hai góc đối đỉnh) Do đó tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

a)Ta có ABCD là hình bình hành nên: AB// CD

AB =CD

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên:

AE=1/2 AB

DF=1/2 CD

Suy ra AD=DF

Lại có AB//CD nên AE//DF. Tứ giác AEFD có cặp cạnh đối AE và DF song song và bằng nhau nên AEFD là hình bình hành.

b) Tương tự, ta có:

AE=1/2AB

CF=1/2CD

Từ đó suy ra AE=CF .Lại có AB//CD nên AE//CF. Tứ giác AECF có cặp cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau nên AECF là hình bình hành.