Nhà trường

a) Vì AH,CK vuông góc với BD(GT)

Suy ra AH//CK

Vì ABCD là hình bình hành (GT)

Suy ra AD=BC;AD//BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK ta có:

AHD= CKB=90 độ (GT)

AD= BC (chứng minh trên)

ADH=CBK (do A)

Suy ra tam giác ADH=tam giác CBK

Suy ra AH= CK (2 cạnh tương ứng )

Mà AH//CK (chứng minh trên)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b)Vì AHCK là hình bình hành nên 2 đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra I là trung điểm của AC.

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

a)Vì ABCDlà hình bình hành (GT)

Suy ra AD=BC;AD//BC

Mà E;Flà trung điểm của AD, BC (GT)

Suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD ta có:

ED=EB(cmt)

ED//BF(do AD//BC )

Suy ra EDFB là hình bình hành

b)Vì ABCD là hình bình hành (GT)

Suy ra O là trung điểm của ACvà BD

Mà DEBF là hình bình hành (GT)

Suy ra O cũng là trung điểm của EF

Suy ra E,O,F thẳng hàng

Tam giác ABC có hai đường trung điểm BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng âm của tam giác.

=>BG=2/3 BM; GM= 1/3 BM (1)

Mà:PG = 1/2 BG=1/2. 2/3 BM =1/3 BM (2)

Từ (1),(2) suy ra GM = PG

Chứng minh tương tự ta cũng có QG= GN

Tứ giác PQMN có 2 đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD , DC=AB , suy ra AE //DF , AE= 2 AB=2CD = DF

=> AEFD là hình bình hành

Tương tự, tứ giác ADFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEF là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AD và CD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM//CN suy ra OAM = OCN (hai góc so le trong )

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

0AM =OCN ( Chứng minh trên)

OA= OC (chứng minh trên )

AOM= CON (2 góc đối đỉnh )

Do đó tam giác 0AM= OCN ( g.c.g )

Suy ra AM= CN (2 cạnh tương ứng )

Mặt khác , AB= CD( chứng minh trên ; AB= AM+ BM; CD = CN + DN

Suy ra BM=DN

Xét tứ giác MBND có :

BM // DN (vì AB //CD)

BM= DN (chứng minh trên )

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Xét tứ giác AEFD có:

AE//FD

AE=FD

Do đó:AEFD là hình bình hành

Mà AE=AD

Nên AEFD là hình thoi

b)