a) \(A H C K\) là hình bình hành.
b) Nếu \(I\) là trung điểm của \(H K\) thì \(I B = I D\).

Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{A D} = \mathbf{d}\) lấy gốc tại \(A\). Khi đó

E là trung điểm của \(A D\) nên \(E = \frac{1}{2} \mathbf{d} .\)
F là trung điểm của \(B C\) nên \(F = B + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d} .\)

a) Chứng minh \(E B F D\) là hình bình hành.

Tính các cạnh;

Ta có \(\overset{\rightarrow}{F D} = - \overset{\rightarrow}{E B}\), nên \(E B\) và \(F D\) song song và bằng nhau (ngược hướng).

Còn

nên \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{\rightarrow}{E D}\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(E B F D\) song song và bằng nhau, suy ra \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E , O , F\) thẳng hàng.

Giao điểm hai đường chéo \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\). Với toạ độ đã chọn,

Tính trung bình của \(E\) và \(F\):

Vậy \(O\) là trung điểm của đoạn \(E F\). Do đó \(E , O , F\) thẳng hàng (và \(O\) nằm giữa \(E\) và \(F\)).

\(\square\)

• Diện tích hai tam giác bằng nhau: \(S_{\triangle O A M} = S_{\triangle O C N}\).
• Từ đó (và/hoặc bằng phép chứng minh toạ độ) suy ra tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ \(M B N D\) là hình bình hành.

 a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

• Diện tích hai tam giác bằng nhau: \(S_{\triangle O A M} = S_{\triangle O C N}\).
• Từ đó (và/hoặc bằng phép chứng minh toạ độ) suy ra tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ \(M B N D\) là hình bình hành.

) \(A E F D\) và \(A E C F\) đều là hình bình hành.
b) \(E F = A D\) và \(A F = E C\).