Tỷ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng: a / d = h / (h + x) a .(h + x) = d . h ah + ax = d.h ax = dh - ah ax = h . (d - a) Chia cả hai vế cho a: x = [h .(d - a)] / a hoặc x = (ah) / (d-a) Biểu thức cần chứng minh là x = (a.h) / (d-a).

Dựa vào việc đường thẳng MNPQ song song với hai đáy AB và CD. Áp dụng định lý Thales trong các tam giác con tạo thành (ABD, BCD, ABC, ADC), ta thiết lập các tỉ lệ bằng nhau. Từ đó suy ra độ dài đoạn MN bằng độ dài đoạn PQ. => MN = PQ.

Gọi AM' là trung tuyến của tam giác ABC. M' là trung điểm BC: BM' = 1/2 BC. G là trọng tâm, nằm trên AM' với tỉ lệ AG/AM' = 2/3. Áp dụng định lí Talet: Đường thẳng d qua G song song với AB, cắt BC tại M. Trong tam giác ABM', ta có tỉ lệ: BM/BM' = AG/AM'. Thay tỉ lệ vào: BM/BM' = 2/3 => BM = 2/3 BM'. Thay BM' = 1/2 BC vào: BM = 2/3 * 1/2 BC = 1/3 BC. Suy ra :BM = 1/3 BC (điều phải chứng minh).

Trong hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Xét tam giác OAB và OCD: Góc AOB = Góc COD (đối đỉnh). Góc OAB = Góc OCD (so le trong). Góc OBA = Góc ODC (so le trong). => Tam giác OAB đồng dạng với Tam giác OCD (g.g). Từ đó suy ra tỉ lệ cạnh tương ứng: OA/OC = OB/OD Nhân chéo ta được: OA.OD = OB.OC (điều phải chứng minh).

Áp dụng định lí Thalès cho đường thẳng DF song song với AB. Ta có tỉ lệ: AF trên AC bằng BD trên BC. Áp dụng định lí Thalès cho đường thẳng DE song song với AC. Ta có tỉ lệ: AE trên AB bằng CD trên BC.. Ta cộng vế theo vế hai đẳng thức trên: AE trên AB cộng AF trên AC bằng CD trên BC cộng BD trên BC. Gộp vế phải thành một phân số: (BD cộng CD) trên BC. Vì D nằm trên BC nên tổng BD cộng CD bằng BC. Do đó, tỉ lệ BC trên BC bằng 1.Vậy đẳng thức AE trên AB cộng AF trên AC bằng 1 đã được chứng minh.