Quan sát hình vẽ, ta có: BC song song với B’C’ ⇒ tam giác ABC đồng dạng với tam giác AB’C’ (theo định lí Ta-lét). Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: AB / AB’ = BC / B’C’ Thay các độ dài theo hình vẽ: AB = x AB’ = x + h BC = a B’C’ = a’ Do đó: x / (x + h) = a / a’

Nhân chéo: x · a’ = a(x + h) Khai triển: x a’ = ax + ah Chuyển vế: x a’ − ax = ah x(a’ − a) = ah Suy ra: x = ah / (a’ − a)

Vì AB \\ CD và đường thẳng qua M, N, P, Q song song với AB nên cũng song song với CD

Xét tam giác ABD, do MN \\ AB nên theo định lí Thalès ta có:

MN/AB = MD/AD. (1)

Xét tam giác ACD, do PQ song song với CD nên theo định lí Thalès ta có:

PQ/CD = MD/AD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

MN/AB = PQ/CD

Mà trong hình thang ABCD có AB = CD, nên MN = PQ

Vậy: MN = PQ

Gọi D là trung điểm của BC. Khi đó AD là trung tuyến và G là trọng tâm nên:

AG/AD = 2/3

Qua G kẻ đường thẳng D \\ AB, cắt BC tại M

Xét tam giác ABD, vì GM \\ AB nên theo định lí Thalès:

BM/BD = AG/AD = 2/3

Mà BD = 1/2 BC, suy ra:

BM = 2/3.1/2 BC = 1/3 BC

Vậy:

BM = 1/3 BC

Vì AB \\ CD nên:

Góc OAB = góc ODC, góc OBA = góc OCD

Suy ra: tam giác OAB ~ tam giác ODC

Do đó:

OA/OB = OD/OC => OA.OD = OB.OC

Vì DE \\ AC nên theo định lí Thalès trong tam giác ABC:

AE/AB = AD/AC

Vì DF \\ AB nên:

AF/AC = DC/BC

Mà AD + DC = BC nên:

AD/BC + DC/BC = 1

Suy ra:

AE/AB + AF/AC = 1