• MN∥AD, \(N P \parallel B C\) (do \(M , N , P , Q\) là trung điểm các cạnh).
• Vì \(\angle C + \angle D = 90^{\circ} \Rightarrow A D \bot B C \Rightarrow M N \bot N P\).
  → \(M N P Q\) là hình chữ nhật.
• Mà hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp, nên

• Trong tam giác đều \(A B C\) mọi trung tuyến là đường cao ⇒ \(C P \bot A B\) và \(B N \bot A C\).
• Do đó \(\angle B P C = \angle B N C = 90^{\circ}\) nên cả \(P\) và \(N\) cùng chắn cung \(B C\) bằng góc vuông ⇒ \(B , P , N , C\) cùng nội tiếp trên đường tròn có đường kính \(B C\).
• Vì \(B C = a\) nên bán kính \(R = \frac{a}{2}\).

• Vì \(M D \bot A B\) nên \(\angle A D M = 90^{\circ}\).
• Vì \(A H \bot B C\) (do \(\angle A = 90^{\circ}\)) nên \(\angle A H M = 90^{\circ}\).
  → \(\angle A D M + \angle A H M = 180^{\circ}\) ⇒ \(A , D , M , H\) cùng nằm trên một đường tròn.

Tương tự, \(M E \bot A C \Rightarrow \angle A E M = 90^{\circ}\).
→ \(\angle A E M + \angle A H M = 180^{\circ}\) ⇒ \(A , E , M , H\) cũng cùng nằm trên đường tròn đó.

a) Vì \(d\) đi qua tâm \(O\), nên đối xứng qua \(d\) hoặc qua \(O\) đều giữ nguyên khoảng cách đến \(O\).
⇒ \(O A = O B = O C = O D = R\)
→ \(B , C , D\) đều thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) \(C\) là ảnh của \(A\) qua \(O\) ⇒ \(O\) là trung điểm \(A C\).
Tương tự \(O\) là trung điểm \(B D\).
→ Hai đường chéo \(A C , B D\) cắt nhau tại trung điểm và bằng nhau ⇒ \(A B C D\) là hình chữ nhật.

c) Vì \(d\) đi qua \(O\), nên phép đối xứng qua \(d\) biến \(C\) thành \(D\).
→ \(C\) và \(D\) đối xứng nhau qua \(d\). ✅

a) Trong hình vuông \(A B C D\), hai đường chéo cắt nhau tại \(E\) và \(E A = E B = E C = E D\).
→ Bốn điểm \(A , B , C , D\) cùng nằm trên đường tròn tâm \(E\).
Hai trục đối xứng của đường tròn là hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).

b) Với cạnh hình vuông \(a = 3 \textrm{ } \text{cm}\):
Đường chéo \(A C = 3 \sqrt{2}\), nên bán kính

\(R = \frac{A C}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \textrm{ } \text{cm} .\)

• Gọi \(M , N , P , Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(A B , B C , C D , D A\) của hình thoi \(A B C D\).
• Tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành (định lý trung điểm).
• Vì trong hình thoi, hai đường chéo \(A C \bot B D\) nên \(M N \parallel A C\) và \(N P \parallel B D \Rightarrow M N \bot N P\).
  → \(M N P Q\) là hình chữ nhật.
• Hình chữ nhật luôn là tứ giác nội tiếp.

• Vì \(D\) là chân đường cao từ \(B\) xuống \(A C\), nên \(B D \bot A C\). Do \(D \in A C\) nên \(B D \bot D C\) và suy ra \(\angle B D C = 90^{\circ}\).
• Vì \(E\) là chân đường cao từ \(C\) xuống \(A B\), nên \(C E \bot A B\). Do \(E \in A B\) nên \(C E \bot E B\) và suy ra \(\angle B E C = 90^{\circ}\).
• Theo giả thiết, tia \(C x\) được kẻ vuông góc với tia \(B M\) tại \(F\). Do đó \(C F \bot B F\) và \(\angle B F C = 90^{\circ}\).

Vậy \(\angle B D C = \angle B E C = \angle B F C = 90^{\circ}\). Mỗi góc vuông này chắn cung \(B C\), nên các điểm \(D , E , F\) cùng với \(B , C\) đều nằm trên đường tròn có đường kính \(B C\).

Đặt toạ độ cho gọn: chọn \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left(\right. a , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. a , b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D \left(\right. 0 , b \left.\right)\) (vì \(A B = a , \textrm{ }\textrm{ } B C = b\)).

• Giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) là \(O \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \left.\right)\).
• Khoảng cách từ \(O\) đến mỗi đỉnh bằng

\(O A = O B = O C = O D = \sqrt{\left(\right. \frac{a}{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{b}{2} \left.\right)^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2} .\)

Vậy bốn điểm \(A , B , C , D\) cách đều \(O\) một khoảng \(\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\), tức cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\).

• Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\) ⇒ \(O B = O C\).
  Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(O B\) đi qua \(B\) và \(C\).
• Gọi \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao ⇒ \(B B^{'} \bot A C\), \(C C^{'} \bot A B\).
  Vì hai tam giác vuông \(O B B^{'}\) và \(O C C^{'}\) bằng nhau (do \(O\) đối xứng với trung điểm \(B C\)), ta có \(O B^{'} = O B = O C^{'} = O C\).
• Do đó các điểm \(B , C , B^{'} , C^{'}\) đều cách đều \(O\) một khoảng \(O B\).

• Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\) ⇒ \(O B = O C\).
  Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(O B\) đi qua \(B\) và \(C\).
• Gọi \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) là các đường cao ⇒ \(B B^{'} \bot A C\), \(C C^{'} \bot A B\).
  Vì hai tam giác vuông \(O B B^{'}\) và \(O C C^{'}\) bằng nhau (do \(O\) đối xứng với trung điểm \(B C\)), ta có \(O B^{'} = O B = O C^{'} = O C\).
• Do đó các điểm \(B , C , B^{'} , C^{'}\) đều cách đều \(O\) một khoảng \(O B\).